• x = 0,999...
    10x = 9,999...
    10x - x = 9,999... - 0,999...
    9x = 9
    x = 1

    doğru bir önermedir.
  • (çoğu zaman) her ne kadar eşit olsalar da 0.999... kendindeki o ufacık eksikliği hep hissediyor olacaktır.
  • bu esitlik dogru mudur degil midir, kabul mudur gercek midir tartismasina girmeden once, kullandigimiz ifadelerin ne anlama geldigi uzerinde anlasmamiz lazim. matematige dair tum anlasmazliklar, aslinda tanimlar uzerindeki anlasmazliklara dayaniyor. simdi, "1" ve "=" sembollerinin ne anlama geldigi konusunda herhalde hemfikiriz, demek ki "0.999..." ifadesi ne anlama geliyor o konuda anlasmamiz lazim. "0.999..." ifadesi, sonundaki uc noktadan da anlasilacagi uzere, aslinda bir limitin kisaltmasidir. hangi limitin kisaltmasidir? 9/(10^1) + 9/(10^2) + 9/(10^3) + ... + 9/(10^n) toplaminin, n sonsuza giderken varacagi limitin kisaltmasidir. bu limit de 1'dir, cunku 1'den yukaridaki toplami cikarirsak, aradaki fark n sonsuza giderken sifira gider. (daha kesin bir ifadeyle: sifirdan buyuk her bir epsilon degeri icin, n yeteri kadar buyukse yukaridaki toplamin 1'den uzakligi epsilondan kucuk olur.) demek ki 0.999... = 1 esitligi dogrudur. asagi yukari degil, tam olarak dogrudur. ve bir kabul degil, bir gercektir. tabii, sol tarafin bir limiti ifade ettigi konusunda anlasiyorsak. yok, siz sol tarafa "sifir virgul bir suru dokuz" gibi sezgisel bir anlam veriyorsaniz, bu esitlik tabii ki dogru olmaz. daha dogrusu, sol tarafa kesin bir tanim veremedigimiz surece, bir esitlikten bahsetmek dogru olmaz. yazdigimiz sey anlamsiz bir semboller dizisi olur.
  • s=0.00000.......001 diye, sifirdan farkli bir sayi olsun. ve 0.99999....99 + s = 1 olsun.

    simdi bu s sayisinin uzerinde bazi islemlere bakalim:

    s * 2 = 0.00000.......002
    s * 3 = 0.00000.......003
    s * 4 = 0.00000.......004
    ...

    s - s = 0
    s + s = 0.00000.......002
    s * s = s
    s / s = 1

    olacaktir heralde.

    simdi x^2 - x = 0 denklemini cozelim.

    bildigimiz sayilar dunyasinda bu denklemin iki cozumu vardir, 0 ve 1. (ikinci dereceden polinomlarin iki koku vardir)
    ama az once s*s = s ve s-s = 0 demistik. ve s != 0 demistik.

    demek ki s^2 - s = 0 oluyor ve bu sayede x^2 - x = 0 gibi bir denklemin 3 tane cozumu oldugu oldugunu saptamis olduk (0,1,s)

    ve bir celiski elde etmis olduk. ve yaptigimiz varsayim s'in varligi uzerineydi. demek ki s yoktur.

    qed

    edit: s*s =s dendigi zaman bir hata varmis gibi geliyor pek cok okura.
    the dunedan beyefendiyle yaptigimiz bir fikir teatisi sonucunda s sayisina soyle bir yaklasim getirelim dedik.

    bir dizi tanimlayalim:
    h_1 = 0.9
    h_2 = 0.99
    h_3 = 0.999
    h_n = 0.999999...(n tane 9)

    bu h dizisinin limiti vardir, zira artan ve ustten sinirli bir dizi kendisi
    lim h_n = 0.99999.....

    bir dizi daha tanimlayalim:
    s_1 = 0.1
    s_2 = 0.01
    s_3 = 0.001
    ....

    bu s dizisinin de limiti vardir zira, azalan ve alttan sinirli. simdi o limite s diyelim.
    lim s_n = s

    bir de s_n + h_n dizisine bakalim
    h_1 + s_1 = 0.9 + 0.1 = 1
    h_2 + s_2 = 0.99 + 0.01 =1
    ...

    bu dizi ise sabit 1'lerin oldugu bir dizi.

    lim (h_n + s_n) = 1
    lim (h_n + s_n) = lim h_n + lim s_n

    1 = 0.99999... + lim s_n = 0.9999 + s

    s_n serisine geri donecek olursak da,
    lim s_n = 0 gayet acik bir sekilde

    yani

    1 = 0.9999.. + 0
  • doğru bir önermedir ve bir kabûl değildir. imdi... insan evlâdının sezgisi diyor ki; "yazılışları farklı, haliyle nasıl aynı olurlar ?"
    hemen gerekçesine gelelim; öncelikle, işin içine ondalık kesir girdiyse, demek ki kesir olarak ifade edilebilen bir nicelikle uğraşıyoruz burada. farklı olan (yani eşit olmayan), her iki kesirli sayının arasında her zaman için başka bir kesirli sayı vardır. yani;

    a<b ise, her zaman için, a<c<b olacak şekilde bir c sayısı bulabiliriz. aslında daha da ötesi, farklı iki kesirli sayı arasında, (o da yetmez) sonsuz kesirli sayı bulabiliriz: c1, c2, c3,..., cn,... gibi. çünkü farklı olmaları durumunda, aralarında var olan "b-a" farkı, istendiği kadar parçaya bölünebilir. ve bu fark da, bölme yoluyla sıfıra indirgenemeyeceği için, farklı iki kesir arasına istediğimiz kadar kesirli sayı yazabiliyoruz. işte şimdi şu soru ile aydınlanıyoruz;

    "0,999... ile 1 sayıları arasına, bir sayı yerleştirebilir misiniz ? (ya da ikisinin arasında olacak biçimde bir sayı bulabilir misiniz ?) yazamazsınız. bu yüzden de; (ısrarla altını çizelim: "bu iki sayı" değil !) bu iki farklı ifade (!) aynı sayıyı gösterir.

    yine de ikna olamadıysanız, bu vaziyet daha ayrıntılı biçimde ifade edilmişti şurada: (bkz: #22687534)

    [not: hali hazırda, var olan bir 1=0,999 başlığı mevcuttu. ama açıktır ki, o başlıktaki entry'lerin içeriği genel olarak, burada ifade edilmeye çalışılan durumla ilgiliydi ve buan ek olarak da "1 = 0,999" ifadesine dair bir başlık da pek anlamlı değil. bu yüzden, "belki de açıldığı vakitlerde, başlık içerisinde '.' karakteri kullanılamıyordu" diye düşünerek, uzun zaman önce 1=0,999 başlığını, 1=0,999... başlığına (ki 0,999...=1 de olabilirdi bu) taşıtma talebinde bulundum: taşıma uygun görülmediği için de bu başlığı açmanın uygun olacağını düşündüm. direkt olarak bakınız vermeyi istemediğim için ise özet biçimde bir açıklama girmeyi uygun gördüm]
  • "lisede eline calculus kitabı geçmiş ergen"lik yapmanın gereği yoktur. 0.999... = 1'dir. budur.
  • 0,999... ile ifade edilen sayıya, eğer ki virgülden sonra sonsuz "0" ve sonra en sonunda da (?!) "1" olan ifadeyi ekleyebilseydik, o zaman bu önerme doğru olmazdı. ama problem şu ki o eklemeye çalıştığınız sayı mevcut değildir yani şöyle bir sayı yoktur;

    0,000...sonsuz adet 0...000...000...1. bak durabilseydik, 1'i ekleyecektik ama olmuyor. "sürekli devam ediyor efendim, durduramıyoruz" neden acaba ? çünkü 0'ları bitirip de 1'i yazamıyoruz ki... 0'lar düşündüğünüz şekilde bir yerde bitiyor olsaydı, zaten ona "sonsuz" değil de "sonlu" derdik. bu da, "sonsuz" kavramının üzerine kafa yormadığınızı ve doğru anlamadığınızı gösterir. 0'lar bir yerde bitiyor ve sonlarına "1" eklenebiliyor olsaydı, o zaman da bu ifade ile gösterilen şeye denk geliyor olmazdı (yani sonlu adet "0"ın ardından, "1" eklemiş olurduk). ayrıca aynı sebepten ötürü, bu ifadenin doğruluğunu işlemle göstermeniz de, matematik eğitimi açısından pek de doğru değildir. çünkü;

    evet x = 0,999... ise 10x = 9,999... ifadesi doğrudur. daha sonra yapılan "10x-x = 9" işlemi de doğrudur. ama, bu önermenin doğruluğunu anlatmak için uygun bir yol değildir. çünkü, gerçekten de sezgimize aykırı olan bir durumu, işlem yaparak (hele ki sonsuz basamakla toplama çıkartma gibi bir işlem yaparak) anlatmak, burada çelişik gibi görünen durumu ve ona tekabül eden "belirsizlik" hissini gidermeye yetmez, yani karşımızdakini ikna etmez.

    edit: bir cümleyi yanlış kurmuşuz, anlamı bozulmuş.
  • matematiksel olarak doğal olarak kanıtlanabilir bir önerme ve yine matematiksel anlamda üzerine çok fazla tartışmaya gerek yok gibi.

    bunun yanında, insan sinir sistemi örgütlenmesi gereği ispatlansa da içselleştirilemeyecek bir önerme olduğu kanaatindeyim. sinir sisteminin temeline inildiğinde, her nöronun ancak bir önceki nöronun kendisini uyarması sonucu aktif hale geçebilmesi veya pasif halde kalması olgusu insanda nedenselliği doğurur. bu sebeple, matematiksel olarak kanıtlansa bile hep bir şeyin sonunun olması, o sondan sonra başka bir şeyin başlaması, yine aynı şekilde bir başın olması ve öncesinde de başka bir şeyin var olmuş olmasına gereksiniriz.

    bu sebeple matematiksel olarak kullanabildiğimiz "sonsuz" veya "sıfır" kavramlarını içselleştiremeyiz. bir şeyin sonunun veya başının olmaması kavramlarını dile getirebilir veya bunlara inanmayı seçebiliriz, ancak içselleştiremeyiz.

    bu bağlamda 0,9999... ifadesinin sonsuzda 1'e ulaşacağını söyleyebilsek de içselleştiremeyiz. sonsuz algı sınırlarımız dışındadır.

    bu da benim yaklaşımımdır, bu böyle biline.
  • (bkz: limit)
hesabın var mı? giriş yap