beklenen değer

• istatistik dersinde sıkça karşımıza çıkmış ve derin izler bırakmışlığı olan konu.
• surekli bi degisken icin integral(x.p(x).dx), diger turlu de sigma(x.p(x)) seklinde tanimlanir.. p(x) degiskenin pdf^* 'i olup integral ya da toplam degiskenin alabilecegi degerler kumesi ustunde alinir.. ornek verelim:
  
  yazi tura deneyi sirasinda turanin (yazi da olur tabi) ilk defa kacinci seferde geleceginin beklenen degeri:
  
  t, yt, yyt, yyyt, yyyyt, ... seklinde gidebilir atilan para.. o zaman:
  bd = 1*1/2 + 2*1/4 + 3*1/8 + ...
  bd = 2
  
  yani cok anormal bi sonuc degil tabi bu, tura ihtimali 1/x olsaydi sonuc da x cikardi..
• (bkz: expected value)
• kuantumda beklenen değer için şöyle bir şey denilebilir
  
  bir deney için aynı dalga fonksiyonuna sahip bir çok parçacık var ve sistemimizin konumu, momentumu, kinetik enerjisi veya potansiyel enerjisini ölçeceğiz fakat fonksiyonları aynı olsada sistemimizdeki çok sayıdaki parçacığın herbiri için ölçümde farklı sonuçlar alacağız. ölçülen değerlerin aritmetik ortalaması veya diğer bir değişle beklenen değerinin hesaplanması bize en olası cevabı verecektir.
  
  bunu hesaplarken dalga fonksiyonumuz w, dalga fonksiyonunun kompleks konjugesi olan w* ölçülen niceliğin fonksiyonu f(r) ve integrali almak için sınırlar olan a ve b gerekecektir.
  
  <f>=integral a'dan b'ye(w*. f . w dr) ^*
• (bkz: matematik umit)
• bir rassal degiskenin almasi mumkun olan butun degerlerin agirlikli ortalamasi.
  
  degisken ayrik ise alabilecegi tum degerleri degiskenin pmf'i (bkz: probability mass function) ile carpip sonuclari toplarsiniz. yok degisken surekli ise, alabilecegi tum degerleri degiskenin pdf'i (bkz: probability density function) ile carpip bunun integralini alirsiniz.
• bir oyuna girerken rasyonel kişi o oyundan beklenen değerine bakar. pozitifse girer. mesela en basitinden yazı tura oyununda, bilirseniz size bilemediğinizde vereceğinizden daha fazla para önerilirse o oyuna girmeniz gerekir. burada kişilerin risk alma özellikleri hesaba katılmamıştır, ayrı bir konudur.
  bir piyango bileti aldığınızda beklenen değeriniz negatiftir. yani çok uzun vadede bu satın alma işlemini defalarca gerçekleştirseniz, uzun vadede zıçmanız beklenir. ortalama ne kadar zıçacağınızı bulmak için satın alma (oyuna girme) sayısını beklenen değer ile çarpmak gerekir. yani beklenen değer deneme sayısı ile çarpıldığında uzun vadedeki ortalama kar-zararı verir.
  dürüst oyunda her bir taraf için beklenen değer sıfırdır.
• deneysel işlemin bir çok defa tekrarlandığında ortalama olarak kaç defa x değerinin ortaya çıktığını gösteren değerdir.
  x'in beklenen değerini e(x) şeklinde gösterebiliriz.
• milli piyango 2014 yılbaşı çekilişi için, bütün biletleri ve toplam ikramiyeyi tam bilet üzerinden hesaplarsak;
  
  toplam bilet sayısı 10.000.000
  dağıtılacak ikramiye 286.150.000 tl
  
  dolayısıyla biletlerin beklenen değeri;
  
  tam bilet: 28.62 - 50.00 = -21.38 tl
  yarım bilet: 14.31 - 25.00 = -10.69 tl
  çeyrek bilet: 7.15 -12.50 = -5.35 tl
  
  başka bir bakış açısıyla, kasada toplanan paranın %57.23'ü dağıtılıyor, %42.77'si kasaya kalıyor.
• bir sans oyunu dusunelim. kazanma olasiligimiz 50.000.000'da 1. sans oyununda biletin fiyati 5 tl olsun. beklenen deger teorisine gore, bileti alip almamamizin matematik acisindan anlamli olup olmadigina bakalim. 10 milyon dagitilacak toplam para buyuk ikramiye olsun. vergi ve ek masraf olmadigini varsayalim ve diger kucuk unsurlari goz ardi edelim.
  
  beklenen deger teorisinde sunu yapacagiz: kazanma olasiligimizi ne kazanacagimiz miktar ile carpacagiz. sonrasinda kaybetme olasiligimizi sifir ile carpip ekleyecegiz. sifir ile carpmamizin nedeni kaybedersek hic bir sey kazanamayacak olmamizdir.
  
  beklenen deger (sans oyunu)= kazanma olasiligi * toplam para + kaybetme olasiligi*0
  =(1/50.000.000)*10.000.000+(1/49.999.999)*0=1/5=0,2
  
  bunun anlami su: bu sans oyununa girdigimizde ancak 0,2 lira kazanmayi bekleriz. yani bu sans oyunun fiyati 0,2 lira. beklenen deger teorisine gore 0,2<5 oldugu icin oyuna girmek mantikli degil. cunku odenecek bedel, beklenen degerden dusuk olacak. sonuc olarak, sizin 5 lira odeyip 50.000.000 tl kazanacaginizi dusunmeniz dogru degil cunku aslinda sans oyununun gercek degeri 0,2 lira.
  
  senaryoda dagitilan toplam ikramiyeyi 250.000.000 lira yapalım. beklenen deger 250.000.000/50.000.000=5 tl olur. beklenen deger ile biletin fiyati esit olacagi icin adil bir oyun olur.
  
  peki bileti satin almak matematiksel olarak ne zaman anlamli olabilir? dagitilan toplam ikramiye 250.000.000 lirayi gectigi zaman...
  
  toparlarsak, bu senaryolarin matematikcesi sunu diyor: sans oyunlarindan uzak durun.^*