çapraz carpım ^*

• matematik dilinde vektorel çarpım olarakda bilinir..
• (bkz: vektörel çarpım)
  
  nokta çarpımından farklı olarak sonucun skaler değil vektör olduğu çarpım. iki vektörün çapraz çarpımı (cross product) bu iki vektörün bulunduğu düzleme dik bir vektör verir. çarpılan vektörler eğer paralelse o zaman sonuç sıfır olur.
• (bkz: perp dot product)
• mühendislikte özellikle elektromanyetik alanlar ve akışkanlar mekaniği gibi dallarda kullanılan bir çeşit vektör çarpmasıdır (bence cross product türkçe'ye vektörel çarpım olarak değil, çapraz çarpım olarak çevrilmelidir). ne değişme (commutativity) ne de birleşme (associativity) özelliği olduğundan abelian grup ve dolayısıyla field tanımlamaya uygun değildir. çapraz çarpım bilineerdir. yani
  
  (a + b) x c = a x c + b x c
  a x (b + c) = a x b + a x c
  
  ve
  
  (s*a) x b = s * (a x b)
  a x (s*b) = s * (a x b)
  
  ifadeleri tüm üç boyutlu a, b, c vektörleri ve s skalerleri için sağlanır. bu özellik de çapraz çarpımın, argümanlarından birine göre, doğrusal transformasyon olarak gösterilebilmesini sağlar.
  
  a vektorünü a = [a1 a2 a3]^t olarak tanımlayalım. şimdi 'a' vektöründen aşağıda 'ax' olarak gösterilen 3x3 ters simetrik matrisi elde edebiliriz.
  
  ax = [ 0 -a3 a2; a3 0 -a1; -a2 a1 0].
  
  bu durumda a x b çapraz çarpımı
  
  a x b = ax*b
  
  olarak standart matris vektör çarpımı kullanılarak gösterilebilir. çapraz çarpımın özellikleri bize ax matrisinin spektral özellikleri hakkında bilgi verir. örneğin:
  
  a x a = 0
  
  olduğu için
  
  ax*a = 0
  
  olmalıdır. bu denklemi
  
  ax*a = 0*a
  
  şeklinde yazarsak, bu durum bize ax matrisinin bir özdeğerinin sıfır olduğunu ve bu özdeğere ait özvektörün de a vektörü olduğunu söyler (burada a vektörünün sıfırdan farklı bir vektör olduğu varsayılmaktadır).
  
  çapraz çarpımın ters simetrik matrislerle bağlantısı onu doğrusal cebirle ilişkilendirir. doğrusal cebirde temel bilgilerden bir tanesi 3 veya daha büyük boyutlu uzaylarda field tanımlanamadığıdır. field matematiksel yapısı, toplama ve çarpma adlı işlemlerle donatılmış iki abelian grup ve çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliğini içerir. 3 veya daha büyük boyutlu uzaylarda toplama tanımlama trivial'dır. ancak bu uzaylarda çarpma tanımlamaya çalıştığınızda başınız ağrımaya başlar, zira çoğu zaman ilgili uzayın tüm elemanlarının kurgulamaya çalıştığınız çarpma işlemine göre tersi olmaz. bu sebeple üç veya daha büyük boyutlu uzaylarda field bulmak için ısrar etmez, abelian grup işlemi özellikleri sağlaması gereken bir çarpma işlemi yerine, gereksinimleri çok daha hafif olan skaler çarpmayı kullanıp vektör uzayı tanımlamaya çalışırız.
  
  yukarıda bahsedildiği gibi çapraz çarpım değişme ve birleşme özellikleri olmadığından abelian grup oluşturmakta kullanışsızdır. dolayısıyla içinde çarpma operasyonu olarak çapraz çarpım kullanılan bir field oluşturulamaz. ancak vektör uzayını tanımlarken yaptığımız gibi field ısrarımızdan yine birazcık taviz verirsek, içinde 'bir çeşit çarpma' olarak çapraz çarpım içeren cebirsel bir yapı tanımlanabilir. matematikte bu tür bir yapıya lie cebiri, bu yapının 'bir çeşit çarpmasına' da lie braketi adı verilir. lie cebirleri (ve daha genel ve çapraz çarpımdan daha az koşul gerektiren vektör çarpması içeren 'cebir' adı verilen matematiksel yapılar) vektör uzayları üzerine tanımlandığından, bu yeni 'bir çesit vektör çarpması', vektör uzayında zaten var olan skaler çarpıma ek olarak tanımlanır. yani lie cebirlerinde (ve diğer cebirlerde) hem skaler çarpım, hem de vektör çarpım bulunur.
  
  olayların baş döndürmeye başladığı yer ise şudur ki: üç boyutlu uzayda toplama olarak standart vektör toplaması, lie braketi olarak da çapraz çarpım kullanan lie cebiri, 3x3'lük ters simetrik matrislerin lie cebiri ile, yukarıda anlatılan üç boyutlu vektörü ters simetrik bir matrise çeviren transformasyon aracılığıyla, denktir (bkz: isomorphism). burada herhangi üç boyutlu a ve b vektörleri için
  
  c = a x b
  
  olarak tanımlayıp, a, b, c vektörlerine tekabül eden ters simetrik matrisleri de ax, bx, cx olarak adlandırırsak, aşağıdaki ifade çok zorlanmadan türetilebilir.
  
  cx = ax*bx - bx*ax
  
  doğrusal cebirde yukarıdaki eşitliğin sağ tarafındaki matrise ax ve bx matrislerinin komütatörü adı verilir. ax ve bx matrisleri
  
  ax*bx = bx*ax
  
  ifadesini sağlıyorlarsa bu matrislere komüte eden matrisler adı verilir. komüte eden matrislerin komütatörleri sıfır olur. dolayısıyla komütatör, ax ve bx matrislerinin komüte etmekten ne kadar uzak olduğunun bir ölçüsüdür. bu da bize gösteriyor ki iki vektörün çapraz çarpımı bize ilgili ters simetrik matrislerin birbiriyle ne kadar komüte etmediğini söyler. örneğin her matris kendisiyle komüte ettiği için bir vektörün kendisiyle çapraz çarpımı sıfır olur (a x a = 0).
  
  son olarak çapraz çarpımla yukarıda gösterildiği şekilde bağlanan ters simetrik matris lie cebiri, so(3) denilen 3x3 rotasyon matrislerinden oluşan lie grubunun lie cebiri olduğundan, çapraz çarpım rotasyon matrisleriyle de ilişkilidir.
  
  sonuç olarak çapraz çarpım, her ne kadar daha çok mühendislik matematiğinin bir ayağı olan (vektör) calculus (veya calculus içeren elektromanyetik alanlar veya akışkanlar mekaniği) öğrenirken karşımıza çıksa da, aslında diğer ayak olan doğrusal cebirle de ayrılamaz bir şekilde ilişkilidir.