peano aksiyomları ^*

• 1. 1 dogal sayıdır.
  2. her bir x dogal sayısı için bir x' ardıl sayısı vardır.
  3. 1 her x dogal sayısı için x' tir (ardıldır)
  4. eger x'=y' ise x=y dir.
  5. eger q soyle bir ozellik ise:
  - 1 in özelligi q dur
  - eger x in özelligi q ise x' in de özelligi q ise
  6. sonuç olarak q butun dogal sayıların özelliklerini kapsar.
  
  kaynak:
  http://www.shu.edu/…cts/reals/logic/defs/peano.html
• 1. sifir bir sayidir
  2. eger a bir sayiysa, a'nin ardili da bir sayidir.
  3. sifir hic bir sayinin ardili degildir.
  4. ardili e$it olan iki sayi birbirine e$ittir.
  5. (aksiyomatik tumevarim) "eger bir s kumesi sifir sayisini ve s'deki her sayinin ardilini da kapsiyorsa, her sayi s'dedir" denir.
  
  kaynak:
  http://mathworld.wolfram.com/peanosaxioms.html
• bir iki üç diye sıralamak yerine çoğu matematikçi bunları a. b. c. diye sıralar. ne de olsa doğal sayıları kuruyoruz, di mi?
• tam olarak teoriden pratige gecildigi anı temsil eden aksiyomlardir bunlar; bu 3-4 basit kabullenme sonrasi $ak diye dogal sayilar dunyasina daliniverir. ondan sonra gelsin toplamalar, gitsin carpmalar..
• (bkz: sayılar teorisi/@oldhand raider)
• son aksiyomu oldukça sorunludur.
  
  biraz sembol yardımıyla anlatmaya çalışalım: "k(a)" demek, k niteliği "a" sayısında vardır demek olsun. "a+1" demek de "a" sayısının ardılı (yani bildiğin bir fazlası) demek olsun. öyleyse son aksiyom (tümevarım aksiyomu) şudur:
  
  her k niteliği için,{k(0) ve [her x için k(x) ise k(x+1)] ise her x için k(x)}
  
  yani eğer bir sıranın en önündeki kişinin şapkası varsa ve eğer önünde şapkalı biri olan herkes de şapkalı biriyse, o zaman bu sıradaki herkes şapkalıdır.
  
  bu biraz dikkat istemesi dışında masum görünüşlü ilkenin sorunu şudur: "her nitelik için" diye yazmak gerekir. oysa tutarlılığı gösterilebilmiş birinci derece mantık sistemleri yalnızca nesneler üzerinde niceleme yapmaya izin verir. nitelikler üzerinde niceleme yaptırmaz. "her nitelik" "bazı nitelikler" gibi ifadeleri kullanmak için ikinci derece mantık gerekir ki onun tutarlılığı kanıtlanamamıştır.
  
  üstelik quine gibileri ikinci derece mantığın mantık sayılamayacağını da iddia etmiştir. şöyle der: "var olan nesnelerdir, mavilik diye nesnelerden ayrı bişi mi varmış ki, bir nesneden söz etmeksizin nitelikten söz edelim?" "her masa" olur da "her mavilik" olmaz!
  
  kuşkusuz gödel'i de unutmamak gerekir. gödel'in tamamlanamazlık kanıtlamalarında da bu son aksiyoma ihtiyaç vardır. bunu içermeyen (birinci derece mantıkla sınırlı) sistemler sorunsuz iken, aritmetik gibi ikinci derece mantığa kapı aralayanlar, gödel'in gazabından kurtulamaz.
• yusuf has hacib'in çok daha önceden farkettiği.
  
  “ey bir olan tanrı, bir başkası sana şerik koşulamaz; başta, her şeyden evvel ve sonda, her şeyden sonra sensin. yaratıcı varlığına yaratılmış olanlar şahittir."
  
  (bkz: kutadgu bilig)
• dort temel ve bır yardımcı aksıyomdan olusan peano aksıyomlariyla dogal sayilar insa edilir.
  
  aksiyomlar:
  a. sifir bir dogal sayidir.
  
  b. her doğal sayı için onun ardılı denilen başka bir doğal sayı ve yalnızca bir doğal sayı vardır.
  
  c. ardılı 0 olan hiçbir doğal sayı yoktur.
  
  d. iki doğal sayının ardılları eşitse, bu iki doğal sayı da eşittir.
  
  e. eğer herhangi bir doğal sayı topluluğu sifiri içeriyorsa ve herhangi bir doğal sayıyı içerdiğinde o doğal sayının ardılını da içerme özelliği varsa, o zaman bu topluluk gerçekte bütün doğal sayıları içerir.
  
  not: bu aksiyomlarda dogal sayilar sifirdan baslatilmistir. bazi matematikciler dogal sayilarin birden basladigini iddia eder.
  bu aksiyomlara adini veren matematikci icin (bkz: giuseppe peano)
  bu isin matematikteki felsefesi icin (bkz: mantikcilik)
• n1- 1 bir doğal sayıdır.
  n2- eğer n doğal sayılar kümesine aitse ardılı n+1'de doğal sayılar kümesine aittir.
  n3- 1 doğal sayılar kümesinde yer alan hiçbir sayının ardılı değildir
  n4- eğer n ve m'nin halefi aynıysa aynı sayılardır.
  n5- eğer herhangi bir doğal sayı topluluğu 1'i içeriyorsa, ve herhangi bir doğal sayıyı içerdiğinde o doğal sayının ardılını da içerme özelliği varsa, o zaman bu topluluk gerçekte bütün doğal sayıları içerir.
  
  matematikçiler arasında hâlâ doğal sayıların 1 mi yoksa 0 ile mi başlaması gerektiği tartışılmaktadır.
  
  "peano aksiyomları ile yapılan şey tüm matematikçilerin üzerinde uzlaşıyla çalışabileceği hukuki zemin yaratmaktır. çünkü matematik için 2+2=4 işlemi yan yana getirilen ikişer parmağın birleşerek dört parmak oluşturması işlemi değildir. parmağın koyunun kuzunun sayılabilecek hiçbir nesnenin olmadığı bir soyut düzlemde de 2+2=4 sonucunun ortaya konulabilmesi için ihtiyaç duyulan şey bir kabulden başka şey değildir.
  
  eğer kabul 2+2=5 olacak şekilde ortaya konulsaydı matematik bu yönde şekillenirdi ve gerçekten de 2+2=5 olurdu. yani bir anlamda dostoyevski’nin rüyası gerçek olurdu ya da george orwell’ın kabusu…böyle bir dünyada ise artık 2+3’ün ise 5 yapmayacağı yeni bir düzen olurdu. bilinen tüm toplama işlemlerinin sonucu değişir ve yine kendi içinde örtük bir matematik oluşurdu. önemli olan nokta herhangi bir çelişkinin ortaya çıkmaması."