• yakın çözüm de yapılsa analitik çözüm de yapılsa sistemi zorlayan, kimi zaman fiziksel dünyanın baskısıyla, kimi zaman olayı inceleyen kişinin keyfiyle ortaya çıkan koşullardır.

    (bkz: şart ve koşul farkı)
  • sınır koşulları üç türdür:

    1. dirichlet,
    2. doğal ya da neumann,
    3. ikisi birden ya da robin

    bir de not: analizde pratik faydaları bize fazladan denklem yaratmalardır.
  • bir kısmi diferansiyel denklemin neredeyse her şeyidir ve çözümün bütün karakterini bir anda değiştirebilirler. sınır koşulları aslında tip olarak üçten ibaret değildir özellikle yapısal denklemlerinde 4. dereceden türev içeren sınır şartları da yer yer uygulanmaktadır.

    ısı denklemindeyse karakter olarak sınır şartları bu verilen örneklere uygundur. dirichlet tipi sınır şartı size, sınırda sabit bir sıcaklık değerinin olduğunu; neumann tipi sınır şartı sabit bir ısı akısı olduğunu; robin tipi sınır şartı ise sınırda konvektif-kondüktif bir ısı dengesi olduğunu söyler.

    açıkçası robin tipi sınır şartları biraz can sıkıcı olmakla beraber, matematiğiyle beni kendine zaman zaman hayran bırakmıştır. ısı denklemiyle ilgili en çok yapmak isteyeceğiniz şey koordinat sisteminde sıfır olarak belirlediğiniz sınıra homojen olmayan sınır şartını dayadıktan sonra diğerine mümkünse homojen olan şartı dayayarak denklemi çözmeye çalışmaktır.

    matematiksel manipülasyonlarla von neumann ve dirichlet tipi sınır şartları için bunu bir şekilde başarabilirsiniz, en favori yöntem initial condition'daki değeri relative sıfır kabul ederek denklemin çözümünü ilerletmektir. gel gelelim, robin tipi sınır şartı hiçbir zaman algebraic olamaz zira içerisinde hem türevi hem de kendisini içerir bu yüzden transcendental olurlar. ama en azından sınır şartının içerisindeki nonzero terimlerden kurtulmanızı sağlayacak matematiksel notasyona haiz iseniz probleminiz artık bir eigenvalue yani özdeğer problemidir. tabii ki, diğer sınır şartlarınız da homojense.

    özdeğer probleminden kısaca bahsedecek olursak, homojen sınır şartları olan bir kısmi veya adi lineer diferansiyel denklemin çok sevdiğimiz ama hiçbir işimize yaramayan bir çözümü vardır ki aşikar çözüm, diğer adıyla trivial solution'dır ve kendisi sıfıra eşittir. çünkü bütün özdeğerler sıfıra eşit olursa, her yerde sıfır olan bir fonksiyon hem diferansiyel denklemi hem de onun sınır şartlarını sıfır yapabilir. öte yandan bu tip denklemlerin bir adet daha çözümü vardır ki, o da özdeğer problemini yaratır. bu denklem belli özdeğerler için de homojen sınır şartlarını sağlayabilir. mühendis olarak yapmanız gereken de o özdeğerleri bulup, ihmal edilebilecek time domain içine düşenleri ayıkladıktan sonra yaklaşık çözümle tasarımınıza devam etmenizdir.

    lakin diğer sınır şartlarının homojen olmadığı durumlarda da uygulamanız gereken strateji çözümü separation of variables tekniğinin de ötesinde parçalayarak kısmi diferansiyel denkleme ait sınır şartlarınızı homojenize etmektir.

    sınır şartları bir diferansiyel denklemin her şeyidir, lineer bir diferansiyel denklem çözümü için yapmanız gereken ise bir şekilde o sınır şartlarını homojen değilse bile homojen hale getirmekte yatar, ki bunu da genelde ilgili spatial değişkene dair adi bir fonksiyon ekleyerek yaparsınız çünkü lineer kısmi diferansiyel denklemlerde superposition ilkesi can dostunuzdur.

    son olarak ısı denklemi özelinde robin tipi sınır şartının başınıza açması muhtemel sorunları ekleyecek olursak, bildiğiniz gibi ısı denklemindeki spatial, yani uzaysal fonksiyon harmoniktir. dirichlet ve neumann tipi sınır koşullarında uğraşacağınız özdeğer fonksiyonu, harmonik olmasına rağmen özdeğerleri bulmak kolaydır, çünkü karışmamış sınır şartında karşınıza ya dirichlet ya da von neumann olmasına göre sinüs ya da kosinüs çıkar ki rahat rahat sıfırlarını hesaplarsınız.

    robin tipi sınır şartında ise aradığınız özdeğer, bir tanjant fonksiyonunun içinde gizlenmektedir. derivasyonuyla uğraşamayacağım ama denklem,

    lambda*l*tan(lambda*l)=bi,

    formundadır, burada bi biot sayısıdır, l ise tek boyutlu çözüm uzayınızın boyutudur. biot sayısı yeterince küçük olursa konvektif terimi robin sınır şartını domine ederek dirichlet tipi sınır şartına çevirir ama biot sayısı yeteri kadar küçükse, ki bu 0.01'dir, zaten lumped capacitance yöntemi ile çözün özdeğerlerle ne uğraşıyorsunuz.

    her neyse bu denklemi ancak numerik yöntemlerle çözebilirsiniz, çünkü her pi aralığında tanjant fonksiyonu tamamlanacağından dolayı sonraki periyodunda özdeğerler büyüyecektir. yeterince büyük özdeğerlerde özdeğer tanjant fonksiyonunun sıfırlarına yakınsar evet ama mühendis olarak büyük özdeğer pek işinize yaramaz, mikrosaniye hassasiyetli bir çözüm aramadığınız sürece. incropera, heat transfer kitabında sizi bu dertten kurtararak ilk 4 özdeğer için tablo eklemiştir.

    tabii bu durum, kartezyen koordinat sistemi için geçerlidir, silindirik ve küreselde sizi bessel'le başbaşa bırakıyorum o da başka zaman çok sıkıldım.
  • elektrodinamikten tutun, birçok fiziksel modellemede karşımıza çıkan koşullardır. dirichlet koşulları fonksiyonun sınır değerleri ile ilgilenirken neumann koşulları ise fonksiyonun türevinin sınır değerleri ile ilgilenir; robin koşulları ise bunların lineer kombinasyonudur. bunlara ek olarak karışık ve cauchy sınır koşulları da bulunmaktadır.
hesabın var mı? giriş yap