şükela:  tümü | bugün
  • bir olayın meydana gelme olasılığının, olaya yonelik ek bilgi edinilmesi halinde nasıl değişeceğini gösteren teorem. baska bir ifadeyle orneklem uzayı a'dan b'ye daraldığında elde ettigimiz ek bilginin olasılıklar üzerindeki etkisini ortaya koymaktır.
    (bkz: kosullu olasılık)
    (bkz: bayesgil istatistik)
  • örnek vermek gerekirse, varsayalım ki,benim 3 tane kız arkadasım var; esmer, sarısın, kumral. ve öyle olsunki, ben %60 ihtimalle esmer, %30 ihtimalle sarışın ve %10 ihtimallede kumralla buluşucam. buna artı, diyelim ki, esmerle buluşursam %9 ihtimalle sevişicem, sarışınla buluşursam %20 ihtimalle sevişicem ve kumral ile buluşursam %6 ihtimalle sevişeceğim. önce sevişme ihtimalim yüzde kaç onu hesaplayalım ;
    0.6*0.09+0.3*0.2+0.1*0.06 =0.12
    şimdi de, eğer biriyle sevişirsem, bunun sarışın olma ihtimalini bulalım ki, bayes teoremi burda işe yarar ;
    (0.3*0.2) / (0.6*0.09+0.3*0.2+0.1*0.06) = (0.060) / (0.120) = 0.5

    demekki, bunlardan biriyle yatarsam eğer, bu yüzde oniki ihtimal, bunun sarışın olma ihtimalide yüzde elli.
  • cok kolay tek bir formul gibi gorundugu halde thomas bayes tarafindan sayfalarca suren ispati meshurdur. cok yararli bir formul.
  • immanuel kant'in bayes teoremini elestirisi hk. (bkz: kritik der statistichen vernunft).
  • çe$itli sebep veya kaynakların yalnız birinden doğacak bir olayın o sebep veya kaynakların herbirinden meydana gelmesi ihtimallerinin tespiti ile ilgili teoremdir.
  • bayes teoreminin söyledigi seyi, agaç yöntemi ile formülle kafayi çizme tehlikesi olmadan bulmak mümkündür.
  • p(b|a) = p(a|b).p(b)/p(a)

    yani b olayına bağlı a olayının gerçekleşme olasılığı a olayına bağlı b olayının gerçekleşme olasılığı çarpı b olayının gerçekleşme olasılığı bölü a olayının gerçekleşme olasılığıdır.
  • insana ilk baki$ta cok mantikli gelen ve uygulanabilir gibi gozuken cozumlerin bile aslinda cok kotu sonuclar verebilecegini gosterebilen, cok yararli bir teoremdir.

    hemen bir ornek verelim kaynagimizdan:¹

    kanser te$hisi icin yeni bir test geli$tirildigini varsayalim. kanserin insanlarda gorulme sikliginin binde 5 oldugunu varsayalim, bu test icin bize verilen bilgi de kanser hastasi olanlar uzerinde denendiginde 95% pozitif sonuc verdigi olsun.

    sorumuz $u, bu test guvenilir bir test midir?

    ilk baki$ta 95% mantikli bir rakam olarak gozuktugunden cogu ki$inin evet diyecegi bu sorunun yaniti bakalim madalyonun diger tarafinda da oyle mi gercekten.

    a = testin uygulandigi ki$ide pozitif sonuc vermesi (teste gore "kanser var")
    b = ki$inin kanser olmasi (teste gore degil, gercekten)

    bu durumda;
    a' = testin uygulandigi ki$ide negatif (temiz) sonuc vermesi
    b' = ki$inin kanser olmamasi

    bu durumda ba$ta verilen bilgileri kullanirsak;
    p[a|b] = p[a'|b'] = 0.95 (ki$i kanser(b) ve test uygulanmi$(a))
    p[b] = 0.005 (bir insanin kanser olma ihtimali, ya da kanserin rastlanma sikligi)

    bayes teoremi kullanirsak;

    p[b|a] = ( p[b]*p[a|b] ) / ( p[a|b]*p[b] + p[a|b']*p[b'] )
    = [(0.005)(0.95)] / (0.95)(0.005)+(0.05)(0.995) = 0.087

    yani neymi$, bu test biri uzerinde pozitif sonuc verdiginde aslinda o ki$inin kanser olma ihtimali 8.7%'ymi$. bu cok du$uk bir rakam oldugu icin test kullanilirsa cok fazla sayida yanli$ uyari meydana gelecegi icin test ba$arisizdir.

    not: ba$langicta verilen ve p[a|b] dedigimiz kavramla sonradan buldugumuz p[b|a]'nin kari$tirilmamasi gerekir. birincisi kanserli hastaya uygulanan testin verdigi sonuc iken ikincisi testin kanser te$hisi koydugu ki$ilerin gercekte ne kadarinin kanser oldugudur.

    (bkz: insan mantığı)
    ¹: probability and random processes, henry stark - john woods
  • sınava girmeden önce formülü görülüp kolay ki bu denilen, sınav sırasında da "olur mu lan öyle şey sonra yapılan işin olasılığı öncekini etkiler mi hiç" diye kafa karıştıran teoremdir.