şükela:  tümü | bugün soru sor
  • bessel diferansiyel denkleminin cozumu olan iki tip bessel fonksiyonu vardir. bunlar birinci tip ve ikinci tip olarak ayrilir. birinci tip bessel fonksiyonu, baslangic noktasinda nonsingular'dir. ikinci tip ise baslangic noktasinda singular'dir. birinci tip bessel fonksiyonlari silindirik fonksiyonlar olarak tanimlanan guruptur aslinda. ikinci tip bessel fonksiyonlari bize neumann'in fonksiyonunu verir.
  • iki tipteki bessel fonksiyonunu (j ve y) karmasık sayı ile biraraya getirip hankel fonksiyonlarını elde etmek mumkundur. soyle ki:
    h1=j+iy
    h2=j-iy
    h1 ve h2 de hankel fonksiyonu tip 1 ve tip 2yi gosteren sembollerdir.

    ayrıca hankel fonksiyonları silindirik kordinatlarda dalganın radyal olarak içe yayılımı(h1 ile) ya da dısa yayılımına (h2 ile) karsılık gelir.
  • üzerine kuran-ı kerim boyutlarında kitaplar yazılmış özel fonksiyonlar.
    qa.374 civarlarında yer alırlar kütüphanede.*
  • ilk olarak daniel bernoulli tarafından tanımlanmı$ ve bessel amca tarafından genelle$tirilmi$ olan fonksiyonlardır.

    (bkz: gamma fonksiyonu)
  • konu bu fonksiyonlar olduğunda, hipokrat'ın meşhur sözünün "bessel longa vita brevis" olarak değişmesi uygun düşer.
    (bkz: ars longa vita brevis)
  • silindirik koordinatlarda ifade edebileceğiniz bir potansiyel fonksiyonuz varsa, çözümü bessel fonksiyonlarıdır.
  • hic umulmadik yerde karsima cikiyor bu fonksiyonlar, küçük sürprizler yapiyor bana . gecen yolda yuruyorum, agactan sarkan bir ip gordum, ruzgarda hafiften sallaniyordu. sinusler cosinusler beni bekler deyip, aylak bakkal sloganiyla oturup dalga denklemini cozdum. cozumler bessel fonksiyonlari cikiyor efendim. cosinus/sinus cikmamasinin sebebi de ipteki gerilimin yukardan asagi dogru artmasi.
    (bkz: bu da böyle bir anımdır)
  • fi: üç boyutlu herhangi bir fonksiyon olmak üzere, laplace denkleminin (del^2 fi = 0) silindirik koordinatlardaki çözümlerinin bir kısmı bu fonksiyonlardır. bir de yine bu denklemin çözümü olan modified bessel fonksiyonları vardır ki evlere şenliktir.
    ayrıca ikinci ve üçüncü dereceleri neumann ve henkel fonksiyonlarıdır.
    klasik elektromanyetik teoride silindirik şekilli geometrilerin potansiyellerini verir bu fonksiyonlar.
    ortogonalite ve tamlık şartları ile işlem yapmak beyinde ısınmaya sebebiyet verebilir.

    not: modified, ortogonalite gibi türkçelerini nasıl kullanacağımı bilemediğim garip sözcükler için tüm sözlük ahalisinden özür dilerim.
  • silindirik koordinatlarda ısı denkleminin de çözümünü içeren fonksiyonlardır. daha doğrusu, silindirik koordinatlarda her difüzyon probleminin çözümünde kullanılırlar.

    kaynak teriminin ve konvektif akı teriminin yokluğunda her difüzyon denklemi, temporal türev ile laplacian operatörünün birbirine uygun difüzyon katsayısıyla çarpımından ibarettir.

    yani, bu noktada laplasyen'e belki kısa da olsa değinmek lazım. sürekli ortamlar mekaniğinin temel denklemine göre, bir kontrol hacimde oluşan birikme, yani yoğunluk fonksiyonunun hacim integralinin zamana göre türevi, o hacme giren ve çıkan akı farkının alan integraliyle, kaynak ve kayıp terimlerinin hacim integralinin toplamına eşittir.

    diverjans teoremini kullanarak, akı farkının alan integralini hacim integraline diverjansını alarak çevirebilirsiniz. akının ise iki farklı çeşidi vardır. bunların ilki taşınımsal yani konvektif akı, bir diğeri ise yayınımsal yani difüzif akıdır.

    ısı denkleminde, katı içindeki akışı çözdüğünüzden dolayı zaten bir akışkan hareketi yani taşınımı yoktur. geriye bir tek difüzif akı terimi kalır. difüzyon demek, laplacian demektir, laplacian demekse gradyanın diverjansı demektir. diverjansı siz alan integralini hacim integraline çevirmek için kullandığınız anda zaten akı dediğiniz terimin aslında bir gradyan olduğunu da söylemiş oluyorsunuz.

    evet, difüzif akı dediğiniz şey aslında bir gradyandır ve ısı denklemi için bu gradyan da fourier ısı iletim kanunundan başka bir şey değildir. birikme terimi ise termodinamik kurallardan türemiştir ve o da içinde yoğunluk, öz ısı ve sıcaklığın zaman göre türevini içerir, tabii yoğunluk ve öz ısı sıcaklığa göre değişmeyecek varsayımı altında.

    demek ki neymiş, laplacian demek difüzyon demekmiş çünkü diverjansı sıfıra eşit olmayan bir gradyan sonsuz küçüklükteki kontrol hacimde bir birikime yol açarmış.

    neyse denklemin özüne gelecek olursak, laplacian terimini x=r*costeta ve y=r*sinteta dönüşümleri uygulayarak kartezyen koordinatlardan silindirik koordinatlara çevirecek olursanız. radyal eksendeki laplacian terimi neredeyse bessel denklemini andıracak hale gelir.

    tek boyutlu ve kararlı rejime ait denklemi lise bilgisiyle dahi çözebilirsiniz. ln fonksiyonlu bir şey gelir. gel gelelim eğer zamana göre değişecek şekilde çözecekseniz, separation of variables tekniğini kullanırsınız ve radyal eksendeki laplacian terimi nonzero öz değer sabiti lambda ile tam olarak sıfırıncı dereceden bessel denklemine benzeyecektir. ilk tip ve ikinci tip olmak üzere ikinci dereceden adi bir diferansiyel denklem için iki çözümü olan bu fonksiyonlar birbirine ortogonaldir.

    bir mühendis olarak karşılaşacağınız ısı denklemi problemlerinin %99.99'unda muhtemelen homojen bir sınır şartı ikinci tip denkleme ait olan katsayıyı sıfırlayacaktır. diğer uçtaki sınır şartı ise taşınımsal-iletimsel dengeden gelen robin tipi sınır şartı ise nonhomojen olacak ve sizi biraz uğraştıracaktır.

    burada artık önem kazanan nokta bessel fonksiyonlarının temel özelliklerini bilmekten ibarettir. evet bessel fonksiyonlarının seri açılımı vardır ama bu tutup da çat çat yazabileceğiniz bir halde değildir. sınır şartlarından gelen belirsiz olan diğer katsayıyı ise, ilk değer verilerini kullanarak denklemin fourier serisi açılımını yaparak elde edersiniz ama bu da oldukça zorlayıcıdır, bessel fonksiyonunu fourier integralinin içinde açarak katsayı hesabına girmeniz gerekecektir.

    meraklısına not: adamlar yedinci sayfanın sonunda anlattığım adımları teker teker açıklayarak silindirik ısı denklemini radyal ve transient koşullar altında çözmüşler.