• bir zarın ya da paranın atılması durumunda gelebilecek sonuçların olasılıklarının aynı olmasına rağmen ilk atışlar ve küçük tekrarlarda sonuçların çılgınca değişiklik göstererek olasılıklarla ters durum oluşturması, ancak büyük tekrar atışlardan sonra (örneğin 10bin) bu değerlerin başta beklenen olasılıklarla eşit olacağını betimleyen yasa.

    küçük miktardaki gözlem sonucu beklenen değerlerin baştaki olasılıklara yakınsayacağını beklemek için bir neden olmamasına karşın yüksek miktardaki gözlem sonucu sapma oranlarını azaltarak oranlara yakınsayan bir durum ortaya koyar. yani 3 turadan sonra yazı geleceğini varsaymak için bir neden yokken binlerce kez atılmış bir yazı-tura olayının olasılıklarının birbirine yakınsayacağını beklemek büyük sayılar yasasının temelini oluşturur.
  • uzun vadede, neden kasanın kazandığını anlatan yasa. buna sonra değineceğim. öncelikle bu kanun nedir, günlük yaşantımızda bize ne katkıları vardır bunları grafiklerle anlatacağım.

    kanun, bir rassal değişkenin uzun vadede beklenen değere ulaşacağını söyler. bir olay için ne kadar çok bağımsız deney yapılır ve ne kadar çok girdi elde edilirse gözlemlenen olayların sonucunda bir ortalama bulunacak ve bu ortalama beklenen değere yakınsayacaktır.

    bir tavla zarını attığınızda 1,2,3,4,5,6 rakamlarından birisi gelecektir. yeterli şekilde zar atıldığında zar ortalamasının bir süre sonra 3.5 bandında seyrettiği gözlemlenmiştir. bununla ilgili yapılmış bir deneyde; 25 kere atılan bir zar için atış sayılarını yatay eksene, gelen sayıları dikey eksene yerleştirdiğimizde şöyle bir grafik ortaya çıkmış. ardışık noktalar doğru parçası ile birleştirildiğinde bir gelişigüzellik göze çarpmaktadır. yatay eksende atış sayısı ve düşey eksende gelen sayıların ortalaması işaretlendiğinde, bu grafigi elde etmişler. atış sayısı büyüdükçe gelen sayıların ortalamasında 3.5'a doğru bir yakınsama olduğu görülmüş.

    diğer bir örnek ise para atma olayıdır. yazı ve tura gelme olasılığı birbirine eşit ve 1/2 dir. yeterli sayıda para atılma deneyi yapıldığında paranın herhangi bir yüzünün grafiği %50'ye yakınsayacaktır.

    peki bu bilgi doğrultusunda bir kumarbaz neden yanılır ve neden uzun vadede kasa kazanır?

    monte carlo yanılgısı (monte karlo yanlışı) diye bir terim vardır. kumarbazlar iyi bilirler. eşit olasılığa sahip olaylardan birisi beklenenden sık ortaya çıktı diye, bundan sonra ortaya çıkma şansının azaldığını varsaymak yanılgısıdır. ismini, monte carlo'da bir kumarhanede, rulet masasında üst üste siyah gelmesinden sonra, artık bu döngü kırılır ve kırmızı gelir düşüncesiyle 1/2 olasılığı ihmal edip kırmızının gelme olasılığını daha çok gören müşterilerin her siyahtan sonra kırmızıya para yatırıp kaybetmelerine neden olan yanlış düşüncelerinden alır.

    mesela para atma olayı rassal bir süreçtir ve deneyin sonunda yazı ve tura gelme durumu eşit ve 1/2'dir. para atıldığında üst üste 10 kere yazı geldikten sonra 11. kez artık bu döngünün kırılacağını ve tura gelme olaslığının daha fazla olduğunu düşünürüz. içimizde buna dair bir inanç ve beklenti oluşur. bu yanılgıdan başka bir şey değildir 11. durum diğer 10 durumdan bağımsızdır ve olasılık hala 1/2'dir. bu şekilde beklenti içine girmemizin ve yanılgıya düşme sebebimiz ise büyük sayılar kanunuyla ilişkili. doğamız gereği gözlemlediğimiz birçok rassal sürecin ortalamada (beklenen değerinde) hareket etmesini bekliyoruz. yazı ve tura gelmesi olasılıkları eşit olduğu için, ilk 10 atışta beklenti 5 yazı ve 5 tura gelmesi yönündedir; ancak 10 atışta da yazı gelince gelecekteki atışlarda bu açığın kapanması ve daha fazla tura gelmesi gerektiğine yönelik bir hisse kapılıyoruz. sonlu sayıdaki denemelerde uzun bir süre yazı geldiğinde bunu takip eden denemelerde ortalamayı dengelemek için tura gelme olasılığının arttığını düşünmek yanılgısına düşüyoruz. oysa az yapılan sonlu denemelerde değil, sonsuza giden durum denemelerinde başarıya ulaşırız.

    rassal süreçlerde deney sayısı sonsuza giderken deney sonuçlarının ortalamasının beklenen değere yakınsaması bir gerçektir; ancak bu yakınsama aradaki açığın kapanması sayesinde değil de önemsiz hale gelmesiyle olur. madeni para için yapılan deneylerde yazının gelme olasılığı ve turanın gelme olasılığının birbirine eşit olduğunu ve sonsuz deney yaptığımızda yazı/tura oranının 1'e yakınsayacağını biliyoruz (sonuçta ikisinin gelme olasılığı 1/2 idi. olasılıkları oranı 1 ise grafik 1'e yakınsar). örneğin 30 kere madeni parayı fırlattığınızda 10 yazı ve 20 tura geldiğini varsayalım ve başka bir madeni parayı da 1000 defa fırlatalım. onda da 482 yazı 518 tura geldiğini varsayalım. 30 kere fırlattığınız durumda yazı/tura oranı 0.5. oysa deney sayısını arttırdığımz diğer durumda yazı/tura oranı 0.968 ile 1'e yakınsıyor. görüldüğü gibi yazı ve tura sayıları arasındaki fark gittikçe artmasına rağmen (ilkinde 10 diğerinde 36) bu fark deney sayısı arttıkça önemsiz hale gelmeye başlıyor ve deney sayısı arttıkça varması gereken değere ulaşıyor 1'e yakınsıyor. bozuk para örneğinde olduğu gibi rulette de kırmızı ve siyah gelme sayısı deney sayısını arttırdığımızda doğru bir sonuca ulaşacaktır. buradaki yanılgı; sadece birkaç denemeden sonra sıranın karşı tarafa geçeceği düşüncesi yani açığın kapanacak olması fikri. bu birkaç denemeden sonra değil oldukça fazla deneme yaptıktan sonra mümkün.

    konuyla ilgili wikipediada bir simülasyon var. hemen sağ tarafta. oradaki kırmızı ve mavileri yazı ve tura olarak düşünün. sonlara doğru fark artmsına rağmen hemen yandaki grafiğe baktığınızda değerlerin birbirine yaklaştığını oranların ikisinin birden %50'ye yakınsadığını görürsünüz.

    uzun vadede kasanın kazanma durumu ise şöyle;
    yine bir kumarhane örneği olsun. oyunun kuralı şudur; oynayan kişi ortaya 10 tl koyar ve bir bozuk para havaya atılır, tura gelirse kumarhane 10 tl’yi alır, yazı gelirse oynayan kişi kendi 10 tl’sini geri alır ve kumarhane üzerine 8 tl daha verir (beklenen değer: kumarhane için her oyunda +2tl kazanç elde etmek). büyük sayılar kanunu uzun vadede kumarhanenin kazançlı çıkacağını söyler. başlarda oynayan kazanmış olsa bile uzun vadede kumarhanenin bu düzenekle ilgili grafiği.

    günlük hayatımızda da rastadığımız bu kanun, hem sigorta şirketlerini ayakta tutar hem de hukukta yazılı olmayan kurallardandır. sigorta şirketi için büyük sayılar kanunu, daha çok sayıda örnek incelenirse daha gerçekçi tahmin yürütme şansının olması anlamına gelmektedir. geçmişte yaşanmış olayları inceleyip ileriye dönük tahminlerde bulunmaya çalışırlar. hukukta ise varsayalım adamın biri diğerine silah kullanarak saldırıda bulunuyor. ama diğer taraf ölmüyor. burada önemli olan adamın ölüp ölmemesi değil silahla birine ateş edildiğinde beklenen sonucun ölüm olacağının ateşi eden kişi tarafından biliniyor oluşudur.
  • yıllardır farkında olduğum bir reel dünya olasılık durumu denilebilir. karşıma çıktı yazayım. şöyle ki elinizde 8 bitlik (bit sayısını fazla tutmayacağım hesap kolay ve anlaşılır olsun diye) bir bilgisayarınız olsun. ve bu bilgisayarda bozuk para attıran ve yazı gelme olasılığı=tura gelme olasılığı=0.5 olan bir programınız olsun.

    2^8=256 atışta bir bilgisayar kendini sıfırlayacaktır ve tam 256. atışta yazı=tura=128 adet olacaktır. 100. atışta 30 yazı 70 tura gelmiş olsa bile 256. atışta yazı ve tura birbirine eşit olur. 255. atış sonunda 127 adet yazı 128 adet tura gelseydi son atışta yazı gelme olasılığı %100'dür deyip kasa basabilirdik. gelgelelim gerçek dünyada bu durum böyle değildir. gerçek dünya bir bilgisayardan daha fazla bir enerjiye, kapsama alanına, sonsuz güce sahip olduğu için her zaman kaç atış yapılmış olursa olsun isterse 100 kere üst üste yazı gelsin, o an için yazı gelme olasılığı da tura gelme olasılığı da 0.5'dir.

    olasılık sadece bir sayıdır ve bilgisayar ortamında doğru sonuçlar verebilir ancak gerçek dünya sadece 0 ve 1'dir. olasılık gerçek dünyada sadece bir sayıdır.
  • insanlık tarihi boyunca savaş ve yıkımlara rağmen dünya'da cinsiyet oranın birbirine çok yakın olması,yıkımdan sonraki gelen barış dönemlerinde kadın-erkek nüfus oranlarının birbirine yakınlaşması büyük sayılar kanunu ile açıklanıyor,bilemiyorum...
  • hayatın her alanında geçerlidir ve herkes aslında hesabını buna göre yapar. ancak birçok kişi farkında bile değildir.

    bir pazarlamacının "şimdi atlayıp arabayı 20 tane firma gezsem elbet 5 tanesi ilgilenir, en az 1 tanesine de satış yaparım." şeklinde hesap yapması,

    karşı cinse mensup 30 kişiyle aynı anda görüşen birinin içlerinden illa ki 1 tanesinin onun amacına hizmet edeceğinden emin olması,

    birinin "kul kınadığını yaşamadan ölmezmiş." demesi,

    bir başkasının "haram para muhakkak çıkar, senden çıkmazsa çocuğundan çıkar, ondan da çıkmazsa torunundan." çıkar demesi,

    kumarhanelerdeki mantığın "kasa her zaman kazanır." olması,

    nasihat eden bir arkadaşın "oğlum bak böyle gidersen birisi seni muhakkak şişler." demesi,

    antin kuntin biri öldüğünde arkasından "su testisi su yolunda kırıldı." denmesi hep bu kanunla doğrudan ilişkilidir.
  • kumarbaz aldanması olarak da adlandırılır.
    şöyle ki bir madeni para ile "yazı-tura" oyunu oynadığınızı varsayarsak sonsuz deneme sonrası ağırlık noktasına yani ilk haldeki ortalamaya (%50) yakınsamasıdır.

    ancak belli bir atış art arda aynı yönde geldiyse sonraki atışların da tam tersi yönde geleceğini kumarbazlar düşünür.
    işte bu yüzden buna kumarbaz aldanması da denilir.çünkü 10 defa tura gelse bile 11.defa yazı veya tura gelme olasılığı hala %50'dir.

    ama ne hikmekse olasılığın ilk ortalama haline yaklaştığı sonsuz tekrara giderken yakınsadığı bir istatistik-matematik kanunudur.
  • bu çok hikmetli, aynı zamanda da çok harcı alem, dağdaki aklı çalışan bir çobanın bile ulaşabileceği bir bilgeliktir ((bkz: #73874207)).
    hilesiz bir zarı 7 defa attığında ilk 7 sonuç 3,4,1,6,2,3,1 gelebilir. iki defa 1 ve 3 geldiği halde hiç 5 gelmemiş. ancak herkes bilir ki, rastgele durumlarda (bkz: rassal değişken), yeterince büyük sayı kez zar atarsak her sayının gelme sayısı altıda bir oranına çok yaklaşacaktır. mesela 360 defa zar atsak, 1 58, 2 60, 3 61,4 60, 5 62, 6 59 defa gelecek şeklinde bir dağılım son derece beklentiler dahilinde iken, 1 63, 2 68, 3 62, 4 65, 5 33, 6 69 defa gelecek şekilde bir dağılım nerdeyse imkansıza yakındır.

    ancak gerçek hayatta amacınız hile yapmak olmasa bile hilesiz, mutlak bir küp şeklinde zar yapmak da zordur. bazen de zarlar hilelidir. bu konuda nassim nicholas taleb'in bir örneği vardı, asıl konu bilim adamlarının istatistiki analizi kendi modellerini temel alarak yapıp, istatistik yöntemi bilimsellik dayanağı olarak kullanmalarını eleştirmesiydi. modelin hatalı ise istatistiki ilkenin sana faydası olmaz veya hatalı kullanmış olursun diyordu: diyelim bir zarı on defa attın dokuz defa 5 bir defa 3 geldi. bu gözlem üzerine ne yapmak gerekir diye sorulunca, büyük sayılar kanununa inanan bilim adamı john smith parasını tüm sayılara eşit dağıtır ya da her sayının 1/6 olan gelme ihtimaline göre hareket ederek başka bir şekilde kumar oynarken, sokaktaki adam fat tony boşuna 5 gelmiş olamaz o kadar diye parasını 5'e koyar veya bu zarda hile var olm deyip oyuna girmez diyordu. kazanma ihtimali olan strateji ise fat tony'ninkidir diyordu örneği ve bağlamı doğru hatırladı isem.
  • bu teoremin bir zayıfı, bir de güçlüsü vardır. zayıfı, ortalamanın olasılıksak olarak beklenen değere yakınsadığını söyler. chebyshev eşitsizliği ile kolayca gösterilebilir. güçlüsü ise neredeyse kesin olarak (almost surely) beklenen değere yakınsadığını söyler. yani n sonsuza giderken örneklerin ortalamasının beklenen değere eşit olma ihtimali 1’dir. olasılık teorisinde ihtimali 1 demekle kesin olmanın eş anlamlı olmadığını hatırlatmakta fayda var. örnek verecek olursak normal dağılımlı (ya da herhangi sürekli dağılım) bir rassal değişkenin 0’a eşit olma olasılığı sıfırdır. ancak bir örnek alırsanız aldığınız örnek 0 olabilir. bu yüzden neredeyse ifadesini kullanmak zorundayız.

    bu teoremde beklenen değerin ve varyansın tanımlı olması önemlidir. örneğin (bkz: cauchy dağılımı)na sahip rassal değişkenlerin ortalaması herhangi bir sabite yaklaşmaz. ortalama kaç tane örnek alınırsa alınsın (sonsuza da gitse) hala cauchy dağılımdadır. cauchy dağılımının beklenen değeri ve varyansı tanımsızdır. beklenen değeri ilk bakışta simetriden dolayı sıfırmış gibi görünür, ancak hesaplanırken sonsuz - sonsuz ifadesi içerdiği için tanımsızdır. bunun gibi dağılımlara ağır kuyruklu dağılımlar (heavy tail) denir.
  • matematik dilinden anlamayıp python diline yatkın olanlara durumu şöyle ifade edebiliriz.

    import random

    defa = 1
    total = 0

    for z in range(500):
    sayi = random.randint(1, 6)
    total = total + sayi
    print(str(float(total) / float(defa)))
    defa = defa + 1

    deneme sayısını artırdıkça göreceksiniz ki sonuç gerçekten de her seferinde 3.5 civarında bir yerlere çıkıyor ki bu da 6 lık bir zarın ortasını 3 olarak düşününce bayağı bir ufuk açıcı bişey.

    edit: tabii ki for dan sonrasını 1 tab veya 4 boşluk içerden yazmak lazım gelir.
hesabın var mı? giriş yap