şükela:  tümü | bugün
  • kurt gödel tarafından oluşturulan matematik teoremi.

    basitçe der ki:
    hiç aksiyomatik sistem tam değildir, yani sistem dahilinde oluşturulan teoremlerin en az birinin doğru olduğu sistem içinde kanıtlamaz. bundandır ki doğru olup olmadığına karar verilemez. başka bir deyişle sistem dahilinde yazılabilen teoremler kümesi t ise ve sistem içinde kanıtlanabilen teoremler kümesi d ise d her zaman t nin bir alt kümesidir*.

    (bkz: gödel teoremi)
  • biz insanlar kainatı algıladığımız biçimiyle anlamaya çabalıyor, anlamak için kurallar koyup çeşitli modeller, kuralları ve simgeleri olan formal sistemler geliştiriyor, mantığın gücünden faydalanmaya çalışıyoruz. üstelik anlamaya çalıştığımız kainata bizler kendimiz de bizzat dahiliz; yani sahip oldugumuz evren modeli bizleri de içermeli şüphesiz. kendimizi modelimizde hesaba katarken kainatı nasıl modellediğimizi dışarda bırakacak halimiz yok, o yüzden evren modelimizi de modelimizin içine almalı, kendimizi modellerken evreni nasıl modellediğimizi de düşünmeliyiz. ama evren modelimizi tamamlayabilmek için evreni nasıl modellediğimizi en azından modelleyebilecek kadar bilmemiz gerekir; yani kendi modelimizi tamamlanmadan kendi modelimizi tamamlayamayız ama kendi modelimizi tamamlamanın yolu da kendi modelimizi tamamlamaktan geçiyor.
    galiba biz bu kainatı bu yolla anlayamayacağız.
  • dikkat edilmesi gereken bir nokta da teoremin hesaplanabilir aksiyom kumelerinin tam olmadigini soylemesidir. eger hesaplanabilirlik umrunuzda degilse tam aksiyom kumesi bulmak cok da zor degildir.
  • strong ai düşmanlarının ** savlarını desteklemek için yalan yanlış kullandıkları teorem. bir kere ai, "biz makinelerde insan zihninin benzerini yaratabiliriz" der. incompleteness theorem'de kullanılan varsayımlardan en önemlisi ise mantıksal olarak tutarlı bir biçimsel dizge varlığıdır (ki gödel bu dizgenin eksik olacağını göstermiştir). şimdi biz insan evlatlarında mantıksal tutarlılıkları düşündüğümüzde insan zihnini taklit eden ai'ın eksikliğinden de bahsedemeyiz çünkü zaten ortada tutarlı bir biçimsel dizge yoktur.
  • douglas hofstadter’in gödel, escher, bach: an eternal golden braid isimli eserinin merkezi çekirdeği.

    en üst düzeydeki kuralları katı, bu kurallar ve koyutlarla üretilebilecek teoremlerin ve teoremler üzerinden üretilebilecek teoremlerin- sonsuz çeşitleme yapabileceği ‘yeterince güçlü bir dizge’, “eksikli” olmak zorundadır.

    matematikte kendine referans paradokslarının matematiği yıkabilecek tehlikeye sahip olması kaygısı, bertrand russell ve alfred north whitehead’i döngüsellik yaratmayacak bir matematik inşa etmeye zorladı. özellikle kümeler kuramında, ‘kendi kendini yutan küme’, ‘bütün kümelerin kümesi’ gibi kümeler, paradokslara yol açıyordu. (bkz: russell paradoksu). bu ağır çalışmanın sonucunda 1910 – 1913 yıllarında principia mathematica doğdu. matematik kendine referanslardan arındırılmış, kurtarılmıştı. mutlu son…

    ne güzel ki hayat ucube masallar gibi mutlu sonla bitmiyor, hadi dağılın artık gösteri bitti, demiyor.

    principia mathematica adlı makinanın doğuşundan yaklaşık 20 yıl sonra, kurt gödel adında bir genç matematikçi, ‘gödel sayılaştırması’ tekniğini keşfetti. hofstadter, gödel sayılaştırmasını “herhangi bir biçimsel dizgedeki simgeler dizilerinin uzun doğrusal düzenlenişlerinin, belli tamsayılar arasındaki matematiksel ilişkiler tarafından tam olarak yansıtıldığı bir haritalama” olarak tarif ediyor.
    gödel sayılaştırmasının en büyük etkisi, “matematiğin kendi hakkında konuşabilmesi” oldu. bir matematiksel dizge ‘hakkındaki’ herhangi bir ifadenin, sayı kuramı içinde incelenebilir hale gelmesi; yani ifadelerin sayılar ve sayıların ilişkilerine dönüştürülebilmesi, ifadelerin kendilerinin de matematik dünyasına girebilmesini sağladı. örneğin, ‘ben principia mathematica’da ispatlanabilirim.’ veya ‘ben principia mathematica’da ispatlanamam.’ gibi ifadelerin doğruluğu, sayı kuramı içerisinde ispatlanabilir hale geldi - ki bu matematiğin kendi dilinde, kendi hakkında konuşabilmesidir. matematiğin kendini algılayıp benlik kazanmasıdır.

    ancak bu estetik ve kuvvetli dönüşümün matematik üzerinde özellikle kendisinin ispatlanamazlığını öne süren ikinci ifadedeki şekilde kullanılması, şaşırtıcı sonuçlara neden oldu. giritli paradoksu matematiğin orta yerinde hortladı; “bütün giritliler yalancıdır.” diyen giritli sahneye çıktı. (bkz: epimenides paradoksu)

    principia mathematica özel durumu yerine daha genel anlam ifade eden, tipografik sayı kuramı (typographical number theory , tnt) kullanacak olursak;‘ben tnt’de ispatlanamam.’ şeklindeki paradoksal ifadenin (g diyelim) kendisinin principia mathematica’nın teoremlerinden biri olduğunun ispatlanması, klasik mantığımızca kolayca hazmedilemeyecek bir sonuçtur. gödel’in ikinci teoremi, bu ifadenin değillemesinin de (~g diyelim) aynı çelişkiyi oluşturduğunu söylüyor. bu durumda, g nin ne kendisi, ne de değillemesinin doğruluğuna karar verilemiyor. demek ki, tnt gibi tutarlı dizgeler, doğruluğu hakkında karar verilemeyecek teoremlere sahiptir. doğruluğuna karar verilemeyen teoremleri yakalamanın da bir yöntemi olmadığına göre, tutarlı bir dizgede karar verilemeyen teoremlerin sayısı bilinemez. (bu bana sayı doğrusu üzerinde doğal sayılar arasındaki boşlukların rasyonel sayılarla doldurulduğu sanılırken, inanılmaz büyüklükte bir boşlukta reel sayıların ikamet ettiğinin fark edilmesinin şaşkınlığını çağrıştırıyor.) hatta gödel’e göre bu eksiklik tüm tutarlı dizgelerde bulunmak zorundadır.

    hofstadter bu zorundalık halini, kitabındaki tosbağa ve akhilleus diyaloglarında çok güzel bir şekilde örneklemiş: (bkz: kontrakrostipunktus). “her bir plakçalar için onun çalamadığı bir plak vardır.” tosbağa, bay yengece, “ben bu plakçalarda çalınamam” isimli bir plak veriyor. çalınmaya başladığında plakçaların mekaniğiyle rezonansa girip mekanizmayı dağıtacak şekilde düzenlenmiş bu plak, gödel’in g teoreminin ta kendisi. plakçalar, plak üzerine kodlanmış bilgiyi ‘tutarlı’ olarak çalmaya çalışırsa, kendi sonunu hazırlıyor. bundan kurtulmanın yollarından birisi olarak da mekanizmayı tutarsız hale getirmek akla geliyor elbette. ancak bu durumda g tipi olmayan ‘masum’ plaklar da doğru bir şekilde çalınamaz. bu ise ilk duruma göre çok daha beterdir, pink floyd plağından seda sayan sesi çıkarmaktır. pespayedir.

    tutarlı bir dizge olan principia mathematica da bu zorunluluktan nasibini almış, eksiksizlik iddiasıyla yola çıkmış bu kuram içinde gödel’ci eksikliklerin kaçınılmaz olarak varolduğu anlaşılmıştır.

    yine de üzülmeye gerek yok, böyle krizler bilim dünyasında yeni kapıların açılması, bilimin genişlemesi için bir fırsattır. hofstadter, insanların tıpkı 2’nin karekökünün iki tamsayının oranı olarak ifade edilemeyeceğini idrak ettiklerinde, veya kompleks sayıların ‘var olmadıkları ve olamayacakları’ düşünüldüğü halde işe yararlığı ve tutarlılığını kabul etmek zorunda kaldıklarında olduğu gibi, klasik mantıkla ilk önce garipsenecek sonra alışılacak bir sayı tipinin, ‘doğaüstü sayılar’ın bu paradoksal durumları ifade etmekte kullanılabileceğini öne sürüyor. (bir daha böyle uzun cümle yazarsam elim kırılsın!) detayına girmeyelim, ama bu sayıların g ve ~g gibi karar verilemeyen teoremler üzerinden yapılacak çıkarımlarda kullanılan, sonsuz büyüklükteki tamsayılar olduğu ifade ediliyor. ben matematikçi olmadığım için bu ifadeleri zaten anlamıyorum.

    aynı teoremin hem roger penrose gibi strong ai düşmanlarının, hem de douglas hofstadter gibi strong ai taraftarlarının favorisi olması ise teoremi kıymetlimiss, bizleri de olan bitenden habersiz shire sakinlerine dönüştürüyor. öylesine güçlü, öylesine kendi başına...
  • theoremi farkli bir boyutta incelemek gerekirse ; david hilbert'in hayati boyunca ugrastigi sistemleri belli aksiyomatik dogrular cercevesinde genelleme calismasinin bir nevi hic bir sekilde yeterli olmayacagini bize gostermistir. tabi olan david hilbert'e olmustur. cunku kendisi bu theoremden hemen once cok ciddi bir kitap hazirlamak ile ugrasiyordu konu ile ilgili. bir anda yaptigi herseyin bosuna oldgunu anladi.
    onun disinda uzerinde ciddi anlamda kafa yorulmus cok muhtesem bir theorydir ki suanda bize hesaplanabilirlik kavramini tanitmistir.
  • bu teorinin sanatsal bir soyutlamasını da, zamanında (net tarih veriyorum 1966) dan graham isimli amerikan sanatçı schema adlı çalışmasıyla gerçekleştirmiştir. bu çalışmasında dan, formel sistem olarak, figürler, semboller, harfler, kelimeler, şekiller, boşluklar ve sayılar ihtiva eden, ve bu haliyle okur tarafından default olarak belirli bir sözdizimi ve anlamsallık içinde algılanan dergidediğimiz şeyi kullanmış, ve dergi sistemi içerisinden türetebileceğimiz veya türetedurduğumuz üstte saydığım bilimum unsuru veya "iddia"yı recursive bir şekilde mevzubahis unsurlardan oluşan dergiye olduğu gibi, bir dergi sayfası olarak bastırıp yayınlatarak, bu teoremi dergi-sayfa düzleminde yaşamış ve yaşatmıştır. schema yı teorinin gündelik hayattaki örnekleniminden ibaret bir yeniden üretimi değil de sanat yapan unsur da, sanata içkin olarak atfettiğimiz soyutlamayı görsel olarak değil, fikirsel olarak muhatabına ulaştırması ve muhatabın soyutlamadan ne anladığını bizzat soyutlamanın bir parçası olarak deneyimlemesidir. buradan hareketle conceptual artı sanatların incompleteness theorem i ilan edebilir ve bizzat okumakta olduğumuz bu başlık tarafından göd edilebiliriz. schema nın linki de buradan gelsin : http://www.ubu.com/concept/graham_schema.html
  • 1931'de yayınlanan esas metnin çağdaş matematik ve mantık notasyonları kullanılarak yapılmış ve araya ufak tefek açıklayıcı bilgilerin de eklendiği yeterli bir ingilizce çevirisi için:

    http://www.research.ibm.com/…ers/canon00-goedel.pdf
  • 20. yy matematiğini derinden etkileyen teorem

    nurettin ergun bu teoremi "kabaca matematiğin sanıldığı kadar 'yetkin' ve 'eksiksiz' olamayacağını söyler" şeklinde ifade etmiştir zamanında...
  • matematiğin belirsizlik ilkesi dir.