matematikteki inanılmaz mantık hatası

• anlamadığı şeylere "mantık hatası" diyen heyecanlı gençlerimizin yaptığı düşünme sporunda en sevilen pozisyonlardan biri. gel gör ki, zaten "matematik" dediğin şeyin ilmi, sana mantıklı düşünmeyi ve mantık hataları yapmamayı öğretmek. "eğitim şart" diyor ve çoğunluğun aklına takılan ve işlemle de içinden çıkıldığı düşünülen (yok öyle bi$i ?) meşhur soruna değiniyoruz.
  
  "0,999999...= 1" önermesi doğru mudur ? yani; bu iki sayı birbirine eşit midir ?
  
  bu sorunun, ilköğretim kitaplarında bile çözümü (güya) gösterilir ama biraz sorunlu biçimde gösterilir. aynı çözüm bu başlık altında da verilmiş, şuradan inceleyebilirsiniz (bkz: #22679011). bu soruyu gerçekten düşünen ve kafaya takmış birinin; bahsi geçen çözüm karşısında, gözlerinin parladığını veya "eureka" dediğini duymamız pek mümkün değildir herhalde. çünkü, aslında burada sadece işlem yapılıyor. yani kabaca, "akıl yürütme kısmı eksik" diyelim bu açıklamanın. şahsi kanaatime gelecek olursak, estetikten uzak bu açıklamanın; gerçekten de anlama derdi olan birini, herhangi bir şekilde ikna etmesi mümkün değil. bir kere burada, "virgülden sonra sonsuz basamağı olan iki sayı arasında çıkartma işlemi yapmak" başlı başına sorunlu bir durum. hadi o basamaklar bir yerde duruyor olsa çıkartma yapayım da, adam bir kere bitmiyor ki "stabil" muamelesi yapıp işleme tabi tutabileyim...
  
  alttaki açıklama ile ikna olacağınızı düşündüğüm bu sorunun yanıtı (soruyla bir şekilde tanışmamış kişiler için), "bu sayıların eşit olduğu". yani evet; 0,999... = 1 önermesi doğrudur. bu sayılar birbirine eşittir. ama önce herkesin takıldığı ve haklı olduğunu düşündüğü noktaya gelelim. sezgimiz, inatla, bu ifadelerin gösterdiği niceliğin (yani sayının) aynı olamayacağını söylüyor bize. yani nasıl olur da;
  * "0,999..." biçiminde yazılan sayı ile "1" dediğimiz sayı eşit olabilir ?
  * bu 9'lar devam eder ama 1'e ulaşmaz. vb.
  çok kısa bir ön bilgi sayesinde, sorun gayet basit ve herkesi ikna edebilecek bir açıklaması var.
  
  // ön bilgi
  farklı nicelikleri gösteren iki kesrin arasında, her zaman için başka bir kesir (hatta sonsuz kesir) mevcuttur. örneğin;
  1/4 ile 1/3 arasında (kesirleri 6/24 ve 8/24 olarak genişletirsek) 7/24 kesri vardır.
  1/11 ile 1/ 10 arasında (20/220 ve 22/220 olarak genişletirsek) 21/220 kesri vardır.
  sonuç olarak; a ve b farklı iki kesirse, -birbirlerine ne kadar yakın olurlarsa olsunlar- aralarında her zaman için başka bir kesir bulunabilir.
  [daha detaylı bir açıklama için (bkz: sayı doğrusu/#20696313)]
  
  // çözüm
  "0,999..." ile "1" farklı sayılarsa (yani farklı nicelikleri gösteriyorlarsa), -verilen ön bilgiye dayanarak- aralarında başka bir kesrin bulunuyor olması gerekir. peki bulunuyor mu ? ya da başka bir deyişle;
  0,999...'dan büyük ve 1'den küçük bir sayı yazabilir miyiz ?
  yazamayız. [açıklama bitti]
  
  demek ki; bu farklı iki ifade, aslında aynı niceliği, yani "1" ile ifade ettiğimiz niceliği gösteriyormuş. velhasıl, sonuca çok hızlı geldik. insan şöyle vurucu bir son yapmak, elini masaya vurdu mu sesi çıksın istiyor ama işte "matematik" denen illet bu kadar basit biçimde açıklayabiliyor bazı mefhumları.
  
  [edit: imlâ]