fermat'nın küçük teoremi

• pierre de fermat pek çok teoreminde olduğuna benzer bir biçimde "ispatı şimdi yazardım ama çok uzun, sonra yazarım tmm?" demiştir. teoremi ispatlamak da leonhard euler'e düşmüştür. gottfried wilhelm leibniz teoremi euler'den daha önce ispatlamış ancak yayınlamamıştır. ispatı ölümünden sonra ortaya çıkan notlarında bulunmuştur.
  
  şöyle şık bir ispatı vardır:
  
  p, asal sayı ve a p'ye bölünmeyen bir tam sayı olsun. bu durumda 1*a, 2*a, ..., (p-1)*a sayıları p'ye bölünmez, yani p'ye bölümlerinden kalanlar sıfırdan farklıdır. 1, 2, ..., (p-1) sayılarından herhangi ikisini (r ve s olsun) alalım, öyle ki;
  
  r*a = s*a (mod p) [eşitlik yerine denklik gelecek]
  
  olsun. bu durumda r = s olur. yani; 1*a, 2*a, ..., (p-1)*a sayılarının p ile bölümünden kalanlar birbirinden farklıdır. dolayısıyla bu sayıların p ile bölümünden kalanlar {1, 2, ..., (p-1) } kümesinin elemanları olur. [bu sırada olmak zorunda değil]
  
  1*a * 2*a * ... * (p-1)*a = 1 * 2 * ... * (p-1) (mod p)
  1 * 2 * ... (p-1) * a^(p-1) = 1 * 2 * ... * (p-1) (mod p)
  a^(p-1) = 1 (mod p)
  
  denkliklerinden istenen elde edilir.