şükela:  tümü | bugün
  • p bir asal sayı ve a, p'nin katı olmayan bir pozitif tam sayı ise
    a^(p-1)=1(mod p) dir seklindeki teorem. euler teoremi ve fermatin kucuk teoremi yardımı ile bir sayinin mod m'ye göre tersi kolayca bulunabilir böylece.
  • a^p=a(mod p) şeklinde yazıldığında a=0 için de geçerli olan teorem; fakat bu durumda a^(-1)i bulamayacağınızdan kullanılırlığı kalmaz

    üstadımız euler bunu a^phi(n)=1(mod n) olarak genellemiştir (bkz: euler fonksiyonu). burada tek kısıtlama a ile n'in aralarında asal olmasıdır

    bu iki teoremin ispatı da a*r=b*r(mod c) denkliğinde r'lerin c ile aralarında asal olduğunda sadeleşebilmeleri ilkesine dayanır. bu bağlamda ilkinin ispatı daha zordur, zira ek argümanları da devreye sokmanız gerekir, fakat her nedense daha önce bulunmuştur
  • fermatin kucuk teoremi bir asal sayı bulma yöntemi değildir. zira, bu teoremi sağlayan asal olmayan p sayıları da vardır.

    (bkz: carmichael sayilari)
  • küçük ama faideli bir teoremdir.asallarla ilgili bir çok teorem ve lemma gibi kanıtlanması,yazana kadar zor,yazdıktan sonra bebek işidir.
  • pierre de fermat pek çok teoreminde olduğuna benzer bir biçimde "ispatı şimdi yazardım ama çok uzun, sonra yazarım tmm?" demiştir. teoremi ispatlamak da leonhard euler'e düşmüştür. gottfried wilhelm leibniz teoremi euler'den daha önce ispatlamış ancak yayınlamamıştır. ispatı ölümünden sonra ortaya çıkan notlarında bulunmuştur.

    şöyle şık bir ispatı vardır:

    p, asal sayı ve a p'ye bölünmeyen bir tam sayı olsun. bu durumda 1*a, 2*a, ..., (p-1)*a sayıları p'ye bölünmez, yani p'ye bölümlerinden kalanlar sıfırdan farklıdır. 1, 2, ..., (p-1) sayılarından herhangi ikisini (r ve s olsun) alalım, öyle ki;

    r*a = s*a (mod p) [eşitlik yerine denklik gelecek]

    olsun. bu durumda r = s olur. yani; 1*a, 2*a, ..., (p-1)*a sayılarının p ile bölümünden kalanlar birbirinden farklıdır. dolayısıyla bu sayıların p ile bölümünden kalanlar {1, 2, ..., (p-1) } kümesinin elemanları olur. [bu sırada olmak zorunda değil]

    1*a * 2*a * ... * (p-1)*a = 1 * 2 * ... * (p-1) (mod p)
    1 * 2 * ... (p-1) * a^(p-1) = 1 * 2 * ... * (p-1) (mod p)
    a^(p-1) = 1 (mod p)

    denkliklerinden istenen elde edilir.
  • herhangi bir tam sayının, asal sayı olan üstü olan sayıdan ilgili tam sayı çıkarılınca üstü olan sayının katı olacak bir sayı çıkacaktır.

    örnek verelim anlaşılması için,
    5 asal sayı mıdır?
    a = 2 ve p = 5 ise
    2^5 = 32
    32 - 2 = 5 × 6

    başka bir örnek;
    7 asal sayı mıdır?

    a = 11 ve p = 7
    11^7 = 19.487.171
    19.487.171 - 11 = 2.783.880 x 7

    bu test sonucu büyük sayıların asallık testinde kullanılsa da sonucu kesin değildir. çünkü çözüm kümesinde tüm asallar bulunsa da asal olmayan sayılar da yer almaktadır. bu nedenle test sonucu tam sayı çıkmazsa test edilen sayının asal olmadığını kesinlikle söyleyebiliriz ama tam sayı çıktığı durumlarda da belirli bir hata payı ile asal olma olasılığı olduğu söylenilebilir.
  • p asal bir sayi olsun.

    1 <= n < p seklinde bir n var ise eger;

    n^(p-1) % p = 1 olur.

    bu su anlama gelir;

    a) eger n^(p-1)%p != 1 ise p kesinlikle asal degildir !
    b) eger n^(p-1)%p == 1 ise p buyuk olasilikla asal bir sayidir ve boylelikle cok buyuk sayilarin asal olup olmadigini kolaylikla test edebilirsiniz.

    edit: yani bu algoritmayla bir sayinin asal olmadigina dair bilgi ediniriz dogrulukla, ama asal olduguna dair edinecegimiz bilgi kesin degildir.
  • bu teorem belkide bilimin ne kadar kestirilemez ve sonsuz bir sey oldugunun kanitidir...

    fermat bu teoremi urettiginde o zamanki bilim insanlari bu teoremi nerede kullanicaklarini tam olarak anlayamamistir.

    a^p=a(mod p) (bkz: so what?)

    fermatin gecen yuzyillarda notlarini ve calismalarini inceleyen bilim insanlari, fermat'in diger teoremlerinin ustunde o kadar durmuslardir ki, bu teoremi bile ilk calismalarda aciga bile cikarmamislardir...

    daha sonra akademisyenler tarafindan aciga cikarilan bu teorem, "kucuk" yani bildigin cukumsu, pipimsi, hani boyle onemsiz, "tamam dogru ama eeee amk?"... dercesine bir isim ile sekillendirmislerdir...
    (bkz: fermat's little theorem)

    bu herkesin bir turlu onemseyemedigi teorem yeni caglarda guvenlik olgusunun en onemli basamagi olacaktir...

    1970'lerde daha siber cag yayilmadan once, asmis bilim insanlari internet guvenligini nasil saglayacaklarini dusunurken bu kimsenin siklemedigi teoremi kullanmislardir... ve siber dunyaya matematigin kattigi en onemli teorem bu teorem olmustur...

    rsa encryption'un ana temeli bu muazzam teoreme dayanir... (bkz: rsa)

    yani sen mailine girerken, banka hesaplarina girerken, karini aldatirken, iddaa oynarken bu kucuk matematik teoremine guveniyorsun...

    yani yillar yillar once "bu ne abi ne ise yarar, siktiret bunu?" denilen teorem, su anda tum information revolution'un guvenliginden sorumlu bir teorem haline geliyor...

    iste bilim adami boyle yatirip, boyle ters cevirir, boyle ******.....

    ilgilenenler icin konunun anlatimi