şükela:  tümü | bugün
  • ing. fermi-dirac istatistiksel dağılımı.

    kuantum ölçeğinde bir sistemdeki özdeş fermiyonların, enerji düzeylerine göre pauli exclusion principle uyarınca, ilgili sistemdeki istatistiksel dağılımıdır.

    k: boltzmann sabiti
    t: mutlak sıcaklık
    eps_i: i'inci enerji düzeyi
    mu: toplam kimyasal potansiyel enerji
    n_i: ortalama fermiyon sayısı

    olmak üzere, termodinamik denge durumunda i'inci enerji düzeyinde bulunan ortalama parçacık* sayısı n_i, aşağıdaki dağılım fonksiyonuna göre belirlenir:

    n_i = 1 / (1 + exp((eps_i - mu)/(kt)))

    söz konusu matematiksel ifade, özünde logistic function'ın özel bir hali olan sigmoid function'dan başka bir şey değildir. dolayısıyla [0, 1] aralığında değer alır.

    (bkz: fermi-dirac istatistiği)
  • serbest elektron fermi gazı'nın uyduğu dağılım fonksiyonudur. çünkü elektronlar leptondur yani fermiyondur ve bu nedenle fermi-dirac dağılım fonksiyonuna uymak zorundadır.
    fermi-dirac dağılımının sıcaklık ile değişimini inceleyelim.
    şurada fermi-dirac dağılım fonksiyonu verilmekte.
    mutlak sıcaklıkta serbest elekron fermi gazının oluşturduğu sistem taban enerji durumundadır. fakat mutlak sıcaklıktan farklı herhangi bir sıcaklıkta bazı dolu olan enerji düzeylerindeki elektronlar koparak başka bir orbitale giderler. yani ısıl uyarım sonucunda ground state'ten excited state'e geçerler. bu olay yalnızca fermi enerjisi yakınındaki elekronlarda gerçekleşmektedir. bunun nedeni çok basittir. pauli dışarlama ilkesi. fermiyonlar pauli dışarlama ilkesine uyarlar. yani bir enerji seviyesine, aynı kuantum sayısına sahip iki elektron yerleşemez.
    serbest elekron fermi gazı için iki adet kuantum sayısı tanımlamak yeterlidir. bunlardan birisi spin kuantum sayısı, m(s)=((+,-)1/2). diğer kuantum sayısı ise n, baş kuantum sayısıdır ve n=1,2,3... olarak verilmektedir. pauli dışarlama ilkesine uyarak dipteki enerji seviyelerindeki elektronlar ısıl enerji ile uyarılıp üst seviyelere geçemezler çünkü üsttekiler zaten dolu.
    mutlak sıcaklıkta ve mutlak sıcaklıktan farklı bir sıcaklıkta fermi-dirac dağılım fonksiyonunun enerjiye karşı grafiği şöyle verilmektedir. görüldüğü gibi mutlak sıcaklıkta fermi-dirac dağılım fonksiyonu step function'dur. mutlak sıcaklıktan farklı bir sıcalıkta step function'dan uzaklaşır.
    herhangi bir sıcaklıkta fermi-dirac dağılım fonksiyonunu 1/2 yapan değer fermi enerjisini vermektedir ve fermi enerjisi metallerde sıcaklıktan bağımsızdır.
    şu
    grafiğe bakarsak fermi enerjisi altında yani mor ile gösterilen bölgede ground state'teki elektronlar bulunur. bu mor bölgedeki elektronlar ısıl enerji ile uyarılarak pembe bölgeye geçerler.