fibonacci serisi

• "adamın biri her tarafı duvarlarla çevrili bir yere bir çift tavşan koyar, her bir tavşan çifti her ay yeni bir çift tavşan dünyaya getirir ve dünyaya gelen her yeni tavşan bir ay sonra üreyebilir erginliğe gelirse, bir yıl sonra duvarlar içinde kaç tavşan olur?" adlı sorudan yola çıkarak leonardo fibonacci tarafından bulunan ve 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ... olarak devam eden sayı dizisidir.
  1634'te albert girard tarafından formülize edilmiş, 1753'te robert simson tarafından sayılar büyüdükçe ardışık iki fibonacci sayısı arasında altın oran bulunduğu belirlenmiştir. 19.yy'da edouard lucas papatya tomurcuklarının ortalarındaki sarmalların sayısının ardışık iki fibonacci sayısına eşit olduğunu tespit etmiştir. (bu tespitin nasıl yapıldığı, bu maddenin yazarı için hala enigmatiktir)
  mimarlık eğitiminde altın oran kavramını açıklamak ve anlatmak için girizgah olarak anlatılan bu dizide, bir sonraki sayı kendinden önceki iki sayının toplanması ile elde edilir.
• c dersi alanlarin hello world'den sonra alacaklari ilk ciddi algoritma odevi.
• ayrıca bu seriden herhangi 10 terimin toplamı, alınan terimlerden yedincisinin 11 katına eşittir.
  hatirlayamadigim bir senenin tubitak bilgisayar olimpiyat sorularindan birisi bunu gerektirmekteydi.
• (bkz: topla gel)
• golden ratio adi verilen ve yunancada fi ile ifade edilen sayi, fibonacci dizisinin n sonsuza giderken, n. elementinin n-1inci elementine bolumu degildir de nedir? (bkz: golden ratio)
• ilk 200'u(sayiyla, iki yuz) asagidaki gibi olan sayi.
  
  1 : 1
  2 : 1
  3 : 2
  4 : 3
  5 : 5
  6 : 8 = 23
  7 : 13
  8 : 21 = 3 x 7
  9 : 34 = 2 x 17
  10 : 55 = 5 x 11
  11 : 89
  12 : 144 = 24 x 32
  13 : 233
  14 : 377 = 13 x 29
  15 : 610 = 2 x 5 x 61
  16 : 987 = 3 x 7 x 47
  17 : 1597
  18 : 2584 = 23 x 17 x 19
  19 : 4181 = 37 x 113
  20 : 6765 = 3 x 5 x 11 x 41
  21 : 10946 = 2 x 13 x 421
  22 : 17711 = 89 x 199
  23 : 28657
  24 : 46368 = 25 x 32 x 7 x 23
  25 : 75025 = 52 x 3001
  26 : 121393 = 233 x 521
  27 : 196418 = 2 x 17 x 53 x 109
  28 : 317811 = 3 x 13 x 29 x 281
  29 : 514229
  30 : 832040 = 23 x 5 x 11 x 31 x 61
  31 : 1346269 = 557 x 2417
  32 : 2178309 = 3 x 7 x 47 x 2207
  33 : 3524578 = 2 x 89 x 19801
  34 : 5702887 = 1597 x 3571
  35 : 9227465 = 5 x 13 x 141961
  36 : 14930352 = 24 x 33 x 17 x 19 x 107
  37 : 24157817 = 73 x 149 x 2221
  38 : 39088169 = 37 x 113 x 9349
  39 : 63245986 = 2 x 233 x 135721
  40 : 102334155 = 3 x 5 x 7 x 11 x 41 x 2161
  41 : 165580141 = 2789 x 59369
  42 : 267914296 = 23 x 13 x 29 x 211 x 421
  43 : 433494437
  44 : 701408733 = 3 x 43 x 89 x 199 x 307
  45 : 1134903170 = 2 x 5 x 17 x 61 x 109441
  46 : 1836311903 = 139 x 461 x 28657
  47 : 2971215073
  48 : 4807526976 = 26 x 32 x 7 x 23 x 47 x 1103
  49 : 7778742049 = 13 x 97 x 6168709
  50 : 12586269025 = 52 x 11 x 101 x 151 x 3001
  51 : 20365011074 = 2 x 1597 x 6376021
  52 : 32951280099 = 3 x 233 x 521 x 90481
  53 : 53316291173 = 953 x 55945741
  54 : 86267571272 = 23 x 17 x 19 x 53 x 109 x 5779
  55 : 139583862445 = 5 x 89 x 661 x 474541
  56 : 225851433717 = 3 x 72 x 13 x 29 x 281 x 14503
  57 : 365435296162 = 2 x 37 x 113 x 797 x 54833
  58 : 591286729879 = 59 x 19489 x 514229
  59 : 956722026041 = 353 x 2710260697
  60 : 1548008755920 = 24 x 32 x 5 x 11 x 31 x 41 x 61 x 2521
  61 : 2504730781961 = 4513 x 555003497
  62 : 4052739537881 = 557 x 2417 x 3010349
  63 : 6557470319842 = 2 x 13 x 17 x 421 x 35239681
  64 : 10610209857723 = 3 x 7 x 47 x 1087 x 2207 x 4481
  65 : 17167680177565 = 5 x 233 x 14736206161
  66 : 27777890035288 = 23 x 89 x 199 x 9901 x 19801
  67 : 44945570212853 = 269 x 116849 x 1429913
  68 : 72723460248141 = 3 x 67 x 1597 x 3571 x 63443
  69 : 117669030460994 = 2 x 137 x 829 x 18077 x 28657
  70 : 190392490709135 = 5 x 11 x 13 x 29 x 71 x 911 x 141961
  71 : 308061521170129 = 6673 x 46165371073
  72 : 498454011879264 = 25 x 33 x 7 x 17 x 19 x 23 x 107 x 103681
  73 : 806515533049393 = 9375829 x 86020717
  74 : 1304969544928657 = 73 x 149 x 2221 x 54018521
  75 : 2111485077978050 = 2 x 52 x 61 x 3001 x 230686501
  76 : 3416454622906707 = 3 x 37 x 113 x 9349 x 29134601
  77 : 5527939700884757 = 13 x 89 x 988681 x 4832521
  78 : 8944394323791464 = 23 x 79 x 233 x 521 x 859 x 135721
  79 : 14472334024676221 = 157 x 92180471494753
  80 : 23416728348467685 = 3 x 5 x 7 x 11 x 41 x 47 x 1601 x 2161 x 3041
  81 : 37889062373143906 = 2 x 17 x 53 x 109 x 2269 x 4373 x 19441
  82 : 61305790721611591 = 2789 x 59369 x 370248451
  83 : 99194853094755497
  84 : 160500643816367088 = 24 x 32 x 13 x 29 x 83 x 211 x 281 x 421 x 1427
  85 : 259695496911122585 = 5 x 1597 x 9521 x 3415914041
  86 : 420196140727489673 = 6709 x 144481 x 433494437
  87 : 679891637638612258 = 2 x 173 x 514229 x 3821263937
  88 : 1100087778366101931 = 3 x 7 x 43 x 89 x 199 x 263 x 307 x 881 x 967
  89 : 1779979416004714189 = 1069 x 1665088321800481
  90 : 2880067194370816120 = 23 x 5 x 11 x 17 x 19 x 31 x 61 x 181 x 541 x 109441
  91 : 4660046610375530309 = 132 x 233 x 741469 x 159607993
  92 : 7540113804746346429 = 3 x 139 x 461 x 4969 x 28657 x 275449
  93 : 12200160415121876738 = 2 x 557 x 2417 x 4531100550901
  94 : 19740274219868223167 = 2971215073 x 6643838879
  95 : 31940434634990099905 = 5 x 37 x 113 x 761 x 29641 x 67735001
  96 : 51680708854858323072 = 27 x 32 x 7 x 23 x 47 x 769 x 1103 x 2207 x 3167
  97 : 83621143489848422977 = 193 x 389 x 3084989 x 361040209
  98 : 135301852344706746049 = 13 x 29 x 97 x 6168709 x 599786069
  99 : 218922995834555169026 = 2 x 17 x 89 x 197 x 19801 x 18546805133
  100 : 354224848179261915075 = 3 x 52 x 11 x 41 x 101 x 151 x 401 x 3001 x 570601
  101 : 573147844013817084101 = 743519377 x 770857978613
  102 : 927372692193078999176 = 23 x 919 x 1597 x 3469 x 3571 x 6376021
  103 : 1500520536206896083277 = 519121 x 5644193 x 512119709
  104 : 2427893228399975082453 = 3 x 7 x 103 x 233 x 521 x 90481 x 102193207
  105 : 3928413764606871165730 = 2 x 5 x 13 x 61 x 421 x 141961 x 8288823481
  106 : 6356306993006846248183 = 953 x 55945741 x 119218851371
  107 : 10284720757613717413913 = 1247833 x 8242065050061761
  108 : 16641027750620563662096 = 24 x 34 x 17 x 19 x 53 x 107 x 109 x 5779 x 11128427
  109 : 26925748508234281076009 = 827728777 x 32529675488417
  110 : 43566776258854844738105 = 5 x 112 x 89 x 199 x 331 x 661 x 39161 x 474541
  111 : 70492524767089125814114 = 2 x 73 x 149 x 2221 x 1459000305513721
  112 : 114059301025943970552219 = 3 x 72 x 13 x 29 x 47 x 281 x 14503 x 10745088481
  113 : 184551825793033096366333 = 677 x 272602401466814027129
  114 : 298611126818977066918552 = 23 x 37 x 113 x 229 x 797 x 9349 x 54833 x 95419
  115 : 483162952612010163284885 = 5 x 1381 x 28657 x 2441738887963981
  116 : 781774079430987230203437 = 3 x 59 x 347 x 19489 x 514229 x 1270083883
  117 : 1264937032042997393488322 = 2 x 17 x 233 x 29717 x 135721 x 39589685693
  118 : 2046711111473984623691759 = 353 x 709 x 8969 x 336419 x 2710260697
  119 : 3311648143516982017180081 = 13 x 1597 x 159512939815855788121
  120 : 5358359254990966640871840 = 25 x 32 x 5 x 7 x 11 x 23 x 31 x 41 x 61 x 241 x 2161 x 2521 x 20641
  121 : 8670007398507948658051921 = 89 x 97415813466381445596089
  122 : 14028366653498915298923761 = 4513 x 555003497 x 5600748293801
  123 : 22698374052006863956975682 = 2 x 2789 x 59369 x 68541957733949701
  124 : 36726740705505779255899443 = 3 x 557 x 2417 x 3010349 x 3020733700601
  125 : 59425114757512643212875125 = 53 x 3001 x 158414167964045700001
  126 : 96151855463018422468774568 = 23 x 13 x 17 x 19 x 29 x 211 x 421 x 1009 x 31249 x 35239681
  127 : 155576970220531065681649693 = 27941 x 5568053048227732210073
  128 : 251728825683549488150424261 = 3 x 7 x 47 x 127 x 1087 x 2207 x 4481 x 186812208641
  129 : 407305795904080553832073954 = 2 x 257 x 5417 x 8513 x 39639893 x 433494437
  130 : 659034621587630041982498215 = 5 x 11 x 131 x 233 x 521 x 2081 x 24571 x 14736206161
  131 : 1066340417491710595814572169
  132 : 1725375039079340637797070384 = 24 x 32 x 43 x 89 x 199 x 307 x 9901 x 19801 x 261399601
  133 : 2791715456571051233611642553 = 13 x 37 x 113 x 3457 x 42293 x 351301301942501
  134 : 4517090495650391871408712937 = 269 x 4021 x 116849 x 1429913 x 24994118449
  135 : 7308805952221443105020355490 = 2 x 5 x 17 x 53 x 61 x 109 x 109441 x 1114769954367361
  136 : 11825896447871834976429068427 = 3 x 7 x 67 x 1597 x 3571 x 63443 x 23230657239121
  137 : 19134702400093278081449423917
  138 : 30960598847965113057878492344 = 23 x 137 x 139 x 461 x 691 x 829 x 18077 x 28657 x 1485571
  139 : 50095301248058391139327916261 = 277 x 2114537501 x 85526722937689093
  140 : 81055900096023504197206408605 = 3 x 5 x 11 x 13 x 29 x 41 x 71 x 281 x 911 x 141961 x 12317523121
  141 : 131151201344081895336534324866 = 2 x 108289 x 1435097 x 142017737 x 2971215073
  142 : 212207101440105399533740733471 = 6673 x 46165371073 x 688846502588399
  143 : 343358302784187294870275058337 = 89 x 233 x 8581 x 1929584153756850496621
  144 : 555565404224292694404015791808 = 26 x 33 x 7 x 17 x 19 x 23 x 47 x 107 x 1103 x 103681 x 10749957121
  145 : 898923707008479989274290850145 = 5 x 514229 x 349619996930737079890201
  146 : 1454489111232772683678306641953 = 151549 x 9375829 x 86020717 x 11899937029
  147 : 2353412818241252672952597492098 = 2 x 13 x 97 x 293 x 421 x 3529 x 6168709 x 347502052673
  148 : 3807901929474025356630904134051 = 3 x 73 x 149 x 2221 x 11987 x 54018521 x 81143477963
  149 : 6161314747715278029583501626149 = 110557 x 162709 x 4000949 x 85607646594577
  150 : 9969216677189303386214405760200 = 23 x 52 x 11 x 31 x 61 x 101 x 151 x 3001 x 12301 x 18451 x 230686501
  151 : 16130531424904581415797907386349 = 5737 x 2811666624525811646469915877
  152 : 26099748102093884802012313146549 = 3 x 7 x 37 x 113 x 9349 x 29134601 x 1091346396980401
  153 : 42230279526998466217810220532898 = 2 x 172 x 1597 x 6376021 x 7175323114950564593
  154 : 68330027629092351019822533679447 = 13 x 29 x 89 x 199 x 229769 x 988681 x 4832521 x 9321929
  155 : 110560307156090817237632754212345 = 5 x 557 x 2417 x 21701 x 12370533881 x 61182778621
  156 : 178890334785183168257455287891792 = 24 x 32 x 79 x 233 x 521 x 859 x 90481 x 135721 x 12280217041
  157 : 289450641941273985495088042104137 = 313 x 11617 x 7636481 x 10424204306491346737
  158 : 468340976726457153752543329995929 = 157 x 92180471494753 x 32361122672259149
  159 : 757791618667731139247631372100066 = 2 x 317 x 953 x 55945741 x 97639037 x 229602768949
  160 : 1226132595394188293000174702095995 = 3 x 5 x 7 x 11 x 41 x 47 x 1601 x 2161 x 2207 x 3041 x 23725145626561
  161 : 1983924214061919432247806074196061 = 13 x 8693 x 28657 x 612606107755058997065597
  162 : 3210056809456107725247980776292056 = 23 x 17 x 19 x 53 x 109 x 2269 x 3079 x 4373 x 5779 x 19441 x 62650261
  163 : 5193981023518027157495786850488117 = 977 x 4892609 x 33365519393 x 32566223208133
  164 : 8404037832974134882743767626780173 = 3 x 163 x 2789 x 59369 x 800483 x 350207569 x 370248451
  165 : 13598018856492162040239554477268290 = 2 x 5 x 61 x 89 x 661 x 19801 x 86461 x 474541 x 518101 x 900241
  166 : 22002056689466296922983322104048463 = 35761381 x 6202401259 x 99194853094755497
  167 : 35600075545958458963222876581316753 = 18104700793 x 1966344318693345608565721
  168 : 57602132235424755886206198685365216 = 25 x 32 x 72 x 13 x 23 x 29 x 83 x 167 x 211 x 281 x 421 x 1427 x 14503 x 65740583
  169 : 93202207781383214849429075266681969 = 233 x 337 x 89909 x 104600155609 x 126213229732669
  170 : 150804340016807970735635273952047185 = 5 x 11 x 1597 x 3571 x 9521 x 1158551 x 12760031 x 3415914041
  171 : 244006547798191185585064349218729154 = 2 x 17 x 37 x 113 x 797 x 6841 x 54833 x 5741461760879844361
  172 : 394810887814999156320699623170776339 = 3 x 6709 x 144481 x 433494437 x 313195711516578281
  173 : 638817435613190341905763972389505493 = 1639343785721 x 389678749007629271532733
  174 : 1033628323428189498226463595560281832 = 23 x 59 x 173 x 349 x 19489 x 514229 x 947104099 x 3821263937
  175 : 1672445759041379840132227567949787325 = 52 x 13 x 701 x 3001 x 141961 x 17231203730201189308301
  176 : 2706074082469569338358691163510069157 = 3 x 7 x 43 x 47 x 89 x 199 x 263 x 307 x 881 x 967 x 93058241 x 562418561
  177 : 4378519841510949178490918731459856482 = 2 x 353 x 2191261 x 805134061 x 1297027681 x 2710260697
  178 : 7084593923980518516849609894969925639 = 179 x 1069 x 1665088321800481 x 22235502640988369
  179 : 11463113765491467695340528626429782121 = 21481 x 156089 x 3418816640903898929534613769
  180 : 18547707689471986212190138521399707760 = 24 x 33 x 5 x 11 x 17 x 19 x 31 x 41 x 61 x 107 x 181 x 541 x 2521 x 109441 x 10783342081
  181 : 30010821454963453907530667147829489881 = 8689 x 422453 x 8175789237238547574551461093
  182 : 48558529144435440119720805669229197641 = 132 x 29 x 233 x 521 x 741469 x 159607993 x 689667151970161
  183 : 78569350599398894027251472817058687522 = 2 x 1097 x 4513 x 555003497 x 14297347971975757800833
  184 : 127127879743834334146972278486287885163 = 3 x 7 x 139 x 461 x 4969 x 28657 x 253367 x 275449 x 9506372193863
  185 : 205697230343233228174223751303346572685 = 5 x 73 x 149 x 2221 x 1702945513191305556907097618161
  186 : 332825110087067562321196029789634457848 = 23 x 557 x 2417 x 63799 x 3010349 x 35510749 x 4531100550901
  187 : 538522340430300790495419781092981030533 = 89 x 373 x 1597 x 10157807305963434099105034917037
  188 : 871347450517368352816615810882615488381 = 3 x 563 x 5641 x 2971215073 x 6643838879 x 4632894751907
  189 : 1409869790947669143312035591975596518914 = 2 x 13 x 17 x 53 x 109 x 421 x 38933 x 35239681 x 955921950316735037
  190 : 2281217241465037496128651402858212007295 = 5 x 11 x 37 x 113 x 191 x 761 x 9349 x 29641 x 41611 x 67735001 x 87382901
  191 : 3691087032412706639440686994833808526209 = 4870723671313 x 757810806256989128439975793
  192 : 5972304273877744135569338397692020533504 = 28 x 32 x 7 x 23 x 47 x 769 x 1087 x 1103 x 2207 x 3167 x 4481 x 11862575248703
  193 : 9663391306290450775010025392525829059713 = 9465278929 x 1020930432032326933976826008497
  194 : 15635695580168194910579363790217849593217 = 193 x 389 x 3299 x 3084989 x 361040209 x 56678557502141579
  195 : 25299086886458645685589389182743678652930 = 2 x 5 x 61 x 233 x 135721 x 14736206161 x 88999250837499877681
  196 : 40934782466626840596168752972961528246147 = 3 x 13 x 29 x 97 x 281 x 5881 x 6168709 x 599786069 x 61025309469041
  197 : 66233869353085486281758142155705206899077 = 15761 x 25795969 x 227150265697 x 717185107125886549
  198 : 107168651819712326877926895128666735145224 = 23 x 17 x 19 x 89 x 197 x 199 x 991 x 2179 x 9901 x 19801 x 1513909 x 18546805133
  199 : 173402521172797813159685037284371942044301 = 397 x 436782169201002048261171378550055269633
  200 : 280571172992510140037611932413038677189525 = 3 x 52 x 7 x 11 x 41 x 101 x 151 x 401 x 2161 x 3001 x 570601 x 9125201 x 5738108801
  
  devami icin buraya gidebilirsiniz.
• kesinlikle, bilinen sayı serileri arasında en karmaşık ve en anlamlı olanıdır.
  bunun yanında bünyesinde en çok kural barındıran sayı serisidir. işte keşfettiğim kurallardan birkaçı^*;
  
  -1-
  terim sıra numarası asal sayı olduğunda, bu sıraya karşılık gelen sayının çarpanları; olabildiğince büyük başka bir asal sayı içermektedir.
  bunla ilgili bir-iki örnek;
  
  ...
  17 : 1597
  ...
  ...
  19 : 4181 = 37 x 113
  ...
  ...
  29 : 514229
  ...
  
  -2-
  sıra numarası (x) asal sayı olan bir terim seçelim. bu sayının alt ve ya üst ardışığındaki sayılardan birinin çarpanlarında, x sayısı bulunur.
  yani;
  
  ...
  10 : 55 = 5 x 11
  11 : 1597 ( 11 sayısı asal, yukarda çarpan olarak bulunuyor )
  ...
  ...
  23 : 28657 ( 23 sayısı asal, aşağıda çarpan olarak bulunuyor )
  24 : 46368 = 7 x 23 x 25 x 32
  ...
  
  ilk 7 terim hariç bütün terimlerde bu enteresanlık mevcut.
  
  -3-
  sıra numarası a olan bir sayı seçelim, karşılığı da b olsun.
  a sayısını asal çarpanlara ayırdığımızda; bu çarpanların karşılığı olan terimler, b'nin çarpanlarının içinde bulunur.
  yani;
  
  ...
  21 : 10946 = 2 x 13 x 421
  ( bu 21. terim. 21'in asal çarpanları 7 ve 3.
  3 : 2
  7 : 13 )
  ...
  ...
  34 : 5702887 = 1597 x 3571
  ( 34'ün asal çarpanları 17 ve 2.
  2 : 1
  17 : 1597 )
  ...
  
  ve daha birsürü birsürü kural, enteresan istatistikler, değişik rastlantılar vb.
• u(1) = 0, u(2) = 1 olmak üzere; n > 2, u(n) = u(n-1) + u(n-2) dersek.
  
  u(n) ve u(n+1) aralarında asaldır.
  u(n) / u(n+1) = sqrt(5) - 1 / 2 (bu da altın oran, belki altın bölüm, bazen altın kesme)
  bunlar bilinenler; bir de:
  u(n+1)*u(n-1) = u(n)^2 + (-1)^n var, çok gıcık bu.
  
  bu dizi illa 0 ile başlıyor; aksilik olsun, 16'dan başlatıyorum.
  16 31 47 78 125 203 328 531 ..
  burada iki terim arası oran (328 / 531) 0.6177.. gibi; zaten altın oranımız da 0.6180.. diye gidiyor.
  o halde 0 ile başlaması da pek bir mühim değilmiş.
  çünkü x, 2x - 1, 3x -1 elemanlar olsun; x / 2x - 1 = 2x - 1 / 3x - 1 'ü çözünce ve çıkan x'i x / 2x - 1'de yerine koyunca çıkan oran her zaman altın orandır.
  ancak bu 16 ile başlayan dizide gıcık eşitlik elde edilemiyor, bu nispeten iyi.
• dizideki her ardisik iki eleman arasindaki oran altin orani verir. sayi buyudukce hassasiyet artar.
• f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)
  f(1) = 1
  f(2) = 2
  2 < n < sonsuz