grup teorisi

• duelloda olen unlu (ama benim adini ezbere yazabilecegim kadar degil) fransiz matematikcinin ortaya attigi, gezgin satici problemi gibi konularda ise yarayabilecegini dusunduren teori, kuram. (galois olabilir miydi)
• (bkz: galois)
• soyut matematige giris diye bir ders almadan ders olarak alinmamasi gerekir. oldukca eglencelidir. fakat sinav oncesi kabus olarak size donebilir.
• toma albu adlı matematikçinin uzmanı olduğu, son derece eğlenceli bir konu.
  
  grup teorisinin fizikte de geniş kullanım alanları vardır. örneğin rotasyon grubu:rotation group'nun(türkçe nasıl ifade edilir bilemedim, bilen varsa söylesin) temsilleri 2j+1 boyutlu altuzaylarla ilişkilidir ve bu uzaylar rotasyon grubunun temsilleri altında değişmez ve indirgenemezdir.
  
  bunun dışında spin 1 için s^2 ve s_z'in ortak özvektörlerini kullanarak su(3)^* grubunun gell-mann basis'ini oluşturabiliriz. su(3) grubunun da parçacıkların sınıflandırılmasında işlevi olduğu konusunda söylentiler vardır.
• temel tanımlar/konular için:
  (bkz: grup)
  (bkz: devirsel grup)
  (bkz: altgrup)
  (bkz: lagrange teoremi)
  (bkz: normal altgrup)
  (bkz: homomorphism)^*
  (bkz: değişmeli grup)
  (bkz: simetrik grup)
  (bkz: sylow teoremleri)
  
  edit: bkz verirken bi de kendim baksaymışım keşke şu sylow teoremleri'ne.. sınavın hepsi sırf bu teoremler yüzünden patladı lan! silo olm ağzıma sıçtın..
• ali nesin'in yeni kitabının konusudur. matematikten anlamayanlar için bile çok yararlı bilgiler barındırmaktadır, önsözünde kitabın nasıl çalışılması gerektiğine dair, bir konunun nasıl öğrenilmesine dair tavsiyeler gibi.
  bütün kitabı kitapçıda hızlıca inceledim, içinde sesli gülmeme yol açan cümleler geçmektedir. kitabı almaya ve çalışmaya karar verdim. hiç bir şey anlamasam, bari matematik köyüne bir yardımım olur, belki yeni bir ülke kurulur, şehre bir film gelir filan.
  internetten öğrenileceği gibi, grup teorisi şifelemede de kullanılıyormuş. şu anda kullanılmakta olan en güvenli şifreleme yöntemlerinden, public key ınfrastructure (pkı) bu teoriyi kullanıyormuş.
  kitaptan öğrendiğime göre, bize lisede bu teoriye girişi göstermişler (ki bazı yerleri yanlışmış diyor ali nesin). demek ki başka bir adla olmuş bu, grup teorisini ilk olarak bu kitapta duydum.
  
  ek güldüğüm cümle: (özdeşleşme konusu) bu eşleme kimi zaman öylesine doğal olabilir ki, a'nın bir a elemanıyla b'nin f(a) eleman arasında bir ayrım yapmak içimizden gelmez, tam tersine ayrım yapmak neredeyse günah kategorisine girer.
• matematikten anlamayıp sadece grup olayına takılanlar
• fraleigh bunun temeli olan grup kavramini cok guzel anlatir kitabinda; soyle ki:
  
  sayilar uzerinde toplama ve cikartma islemlerini yalayip yuttuktan sonra, basimiz bilinmeyenli esitliklere carpacak. en basitinden lineer olanlari bilindik toplama islemi icin,
  
  a + x = b
  
  bilindik carpma islemi icinse
  
  ax = b formundalar.
  
  toplama islemi icin ornegin, 5 + x = 2, z'de^* tanimli olsun.
  carpma islemi icin ornegin, 2x = 3, q'de^* tanimli olsun.
  
  bu esitlikleri simdiki bildigimiz cebir ile cozerken, isin icine cikartma ve bolme maydonoz olacaklar. fakat bunu yalnizca toplama ve carpmayla sinirlandirip yapmaya kalkarsak ortaya soyle seyler cikacak:
  
  5 + x = 2
  -5 + (5 + x) = -5 + 2
  (-5 + 5) + x = -5 + 2
  0 + x = -5 + 2
  x = -3
  
  ve
  
  2x = 3
  (1/2)(2x) = (1/2)(3)
  [(1/2)(2)](x) = (1/2)(3)
  (1)(x) = (1/2)(3)
  x = 3/2
  
  bu iki cozumde goruldugu uzere, x'i bulmak icin ihtiyacimiz olan 3 husus soz konusuydu:
  
  toplamali esitlikte,
  1) birlesme ozelligi sayesinde (-5+5) yapabildik.
  2) 0 + x sayesinde x'i esitligin sol tarafinda yalniz birakabildik.
  3) -5'in varligi sayesinde 5'i toplamada etkisiz elemana (0) cevirebildik.
  
  carpmali esitlikte,
  1) birlesme ozelligi sayesinde [(1/2)(2)] yapabildik.
  2) (1)(x) sayesinde x'i esitligin sol tarafinda yalniz birakabildik.
  3) (1/2)'nin varligi sayesinde 2'yi carpmada etkisiz elemana (1) cevirebildik.
  
  goruldugu uzere bu basit lineer denklemleri cozebilmek icin bu 3 gereksinime ihtiyacimiz var.
  
  konuyu biraz daha soyutlastirirsak;
  
  a, x, ve b'nin elemani oldugu bir g kumesinde, oyle bir binary operation * tanimli olsun ki; a * x = b esitligini cozmek isteyelim. ( * carpma degil, islem)
  
  bunu cozebilmemiz icin:
  1) * operasyonunun birlesme ozelligi olmali^*
  2) g kumesinde oyle bir e elemani olmali ki e * x = x * e = x olmali (etkisiz eleman)
  3) g kumesinde her bir a icin oyle bir a' olmali ki a * a' = e olmali (a'nin tersi)
  
  bir kume ve bu kumede tanimli bir binary operation birlikte bu uc aksiyoma uyuyorsa, bu ikisinin olusturdugu yapinin adina da derler grup.
  
  <g, *> bicimindedir notasyonu. (< ve > yanlardan basik)
  
  not:
  fraleigh bunu anneanneye anlatir gibi anlatmis. "grup ne lan?" diye kafasi gidiklananlara faydali olacagini umut ediyorum. gruplardan bahsederken kume uzerinde tanimli islemin anlatimi sirasinda "toplama" ve "carpma" gibi soylemlere dikkat etmek gerek; zira bu tip anlatimlar kisinin meseleleri daha da soyutlastirmasinda engel olabilirler, ve oyle bir binary operation yazabiliriz ki ismine hede der, arkada derya deniz gibi cebir yaptirtabiliriz bu hede ile. oyle bir mapping yapabiliriz ki <g, hede> bile grup olabilir; iyi bir cocuk olursak sirinleri bile gorebiliriz.
• kimya dalinda molekullerin, orbitallerin ve kristallerin simetrilerini tayin etmek ve gruplamak icin sikca kullanilan matematik teorisi. ozellikle spektroskopi alaninda, molekullerin isikla etkilesiminden sonra ortaya cikan geometrik degisimler, bu teori kullanilarak cok daha rahat anlasilabilir. ayriyetten kendileri sahsima etkili bir sekilde 3 boyutlu dusunmeyi ogretmis, sacma salak iq testlerinden daha yuksek puanlar almami saglamistir.
• bir küme ve bu küme elemanlarında tanımlı binary bir işlem(işlemimiz * olsun) şu şartları sağladığında bir grup olarak adlandırılır:
  1- closure: eğer x ve y kümemizin elemanlarıysa, x*y işleminin sonucu da kümemizin elemanı olmalı
  2- associativity: x*(y*z) = (x*y)*z
  3- identity: kümemizde işlemimizin bir birim elemanının bulunması. birim elemanı e, herhangi bir eleman x ile işleme uygulandığında x'i vermelidir. x*e = x (çarpma işlemindeki 1, toplama işlemindeki 0 gibi)
  4- invertibility: kümemizdeki her elemanın işlemimize göre tersi kümemizde bulunmalıdır. bir x elemanın tersini x^-1 olarak gösterirsek, x*x^-1 = e işlemi bir elemanın tersini tanımlar.
  
  bu şartları sağlayan yapıları inceleyen alana grup teorisi denir.