• bazi insanlar icin butun sayilar karmasiktir.
  • lisede cok basit formuyla islendiginden trigonometriden sonra ilac gibi gelir.
  • elektrikcilerin ve elektronikcilerin akimin simgesi olan "i" ile karismasin diye a+jb seklinde yazmayi tercih ettikleri sayilar..
  • z ve z eslenik varsa a+bi seklinde yazmamiz gerekir.

    z'nin reel eksene gore simetri z eslenigi verir. a+bi ---> a-bi gibi

    z'nin orijin'e gore simetrigi -z esleniktir. z'yi eksi ile carpmak z'nin orijine gore simetrigini almak demektir. a+bi ----> -a-bi gibi

    z'nin uzunlugu (mutlak degeri veya modulu veya normu) karmasik sayinin orijine uzakligi demektir.

    sorularda i^4=1, i^2=-1, i^3=-i, (1+i)^2= 2i , (1-i)^2= -2i , a^2-(bi)^2= a^2 + b^2 ve karekok (-1) = i oldugunu bilmek zaman kazandirir.

    z. z eslenigin carpimi z'nin boyunun (mutlak degerinin) karesidir.

    karmasik sayiyi sabit bir sayi ile carparsak boyu degisir ama acisi (argument) degismez. kupunu alirsak karmasik sayinin acisini 3 ile carpariz.

    karmasik sayiyi - ile carparsak acisina 180 ekleriz.

    z'den -z olsun. bu su demek: acilarda -1 ile carpmak , orjine gore simetri almak demek, o yuzden aciya 180 derece ilave edilir veya 180 cikarilir.

    karmasik sayiyi i ile carpmak saat yonunun tersi yonunde (pozitif yonde) 90 derece ilave etmektir.

    karmasik sayiyi saat yonunde 90 dondurmek (negatif yonde) -i ile carpmak demektir.

    karmasik sayiyi 120 saat yonunun tersinde dondurmek ( pozitif yonde) cis 120derece ile carpmak demektir.

    aci 20 olsun esleneginde -20 veya 360+20=380 olur.

    z sayisinin eslenigi koordinat duzleminde x eksenine gore simetrisini almak demektir. ve aciya 360 derece ilave etmek demektir.

    cos(-x)=cosx , sin(-x)=-sinx

    esitligin her iki yaninda da z varsa x+yi seklinde yazmaya gerek yok, denklem cozer gibi z'leri bir tarafta topla diger tarafta da reel sayi ve sanal sayi olan i'leri...

    z'nin, z esleginin, -z nin , -z'nin esleginin mutlak degerleri birbirine esittir.

    (mutlak deger icinde) |z1-z2| iki karmasik sayi arasindaki mesafeyi gosterir.

    n. dereceden karmasik sayinin koklerini buluyorsaniz, karmasik sayinin n tane kokleri duzgun n'genin koselerini belirtir.

    z=1+4i olsun.

    karmasik sayinin kokleri toplami: 0
    karmasik sayinin kokler carpimi: sorulmus olan karmasik sayinin negatifini aliriz. -1-4i olur.

    i demek 1.cis90 demektir.
    -i demek 1.cis270 demektir.
    1 demek 1.cis0
    -1 demek 1.cis180 demektir.

    z=2+3i olsun. orjin etrafinda pozitif yonde 30 derece kadar bu karmasik sayiyi dondurelim.

    yeni karmasik sayi : z' olsun

    z'= z.cis30 = (2+3i)(cis30)= (2+3i)*(cos30+isin30) seklinde carpma yapilarak sonuca gidilir.

    karmasik sayilarda kok bulunurken, standart gosterimden kutupsal gosterime (boyu bulunur ve cisli hale getilir. boylece uzunlugunun koku alinir ve aci da kok derecesine bolunur ) cevrilir.

    karmasik sayiyi i ile carpmak cis90 ile carpmak demektir.

    karmasik sayilarda mutlak deger z yi gorursen pisagor bagintisini kullan. z'yi gorurusen x+yi yaz.

    karmaşık sayılarda en büyük uzaklık ve en küçük uzaklık tarzı sorularında z'nin yanındaki sayıların mutlak değerini alıp eşitsizliğin yanındaki sayıyla toplarsanız en büyük, çıkarırsanız en küçük değerini bulursunuz.

    karmaşık sayılarda

    z=1+cos70-isin70 arg(z)=?

    gibi sorularda genelde cevap sorudaki açının yarısı çıkıyor.. yani 70/2=35

    z= sin 53 - cos 37 olsun. esas argumenti nedir?

    burda cis formatina getir. ve c ile s arasinda arti olacak. sayilar da ayni olacak.

    z= cos 37 - i sin 53

    burda tri. bilgisi ile cis formatinda yazalim.

    z= cos 37 + i sin (-53)

    acilar ayni olmali.

    z= cos(-53)+isin (-53)

    z=cis(-53) (aciya 360 ekle)

    z= cis (307)

    argumenti 307dir.

    ----

    z=cis20 olsun

    z^3=cis3.20=cis60

    z^-1=cis-1.20=cis-20 olur.
  • e, pi gibi sayılar karmaşıktır
    tam açılımını bulamazsınız, sonsuza kadar aperiyodik olarak uzar giderler..

    a+ib şeklinde ifade edilen sayılardır.
    koordinat ekseninde bu a+ib'nin reel eksenle yaptığı açıya arg(a+ib) denir.

    nostaljik duygular içinde yıllar sonra gelen düzeltme: karmaşıktır derken bir espri yapılmış, fakat okunduğunda espri olduğu anlaşılmıyor. bu nedenle belirtmek lâzım ki, e ve pi sayıları karmaşık sayı değildir.
  • kare kökü değil karesi -1 olan sayıya i denir
  • ismi bile korkutan sayi sistemi..
  • yillar boyunca sayi dogrusunu 1 boyutlu görmeye alismis olan yurdum ögrencilerine, bu kümenin aslinda ikinci bir y boyutunun da oldugunu gösteren, göstermesiyle sasirtan; sonradan üzerine kafa yorunca peki neden bunu z ekseni (3. bir boyutu) yok diye sordurtan a+bi seklinde gösterilen sayi cesidi. sistematigini gaussa borclu oldugumuz estetik harikasi.
  • a + ib şeklindeki yazılışlarındaki + operatörünün işlevi reel sayılardaki + op. ile aynı değildir.

    buradaki + operatörü, iki farklı eksende (reel ve imajiner) bileşeni bulunan "kompleks" sayıyı sevimli bir biçimde göstermek için vardır.
  • reel sayılar uzayında (-4)^1/2 ifadesi tanımsızdır fakat karmaşık sayılar uzayında -4, 4i^2 olarak tanımlanabileceğinden; (-4)^1/2 ifadesi de (4*(i^2))^1/2 ) şeklinde yazılabilir ve + 2i, - 2i değerlerine tekabül eder. yani bu bakıma karmaşık sayılar, negatif sayıların karekölerinleri ifade etmekte de kullanılır.

    edit: önceden yazmış olduğum, hatalı bilgi içeren entrymi düzeltmeme vesile olan zamir'e teşekkürler.
hesabın var mı? giriş yap