şükela:  tümü | bugün
  • matamatiksel bir teori sanirsam farkli matematik olusumlar arasinda baglanti kurmak icin mi nedir ne degildir mevzuya daha ehil yazarlarca doldurulmasi dilegi ile ...
  • (bkz: kategori)
  • object oriented set theory de denebilir. objelerin icine hem kumeleri hem fonksiyolari koyarak yapilan kumeler kuraminin genellesmis halidir.
  • objeler ve bunlar arasinda tanimlanan oklar (arrows, morphisms) temel yapitaslaridir. diagramlar vasitasiyla gosterilirler, bu sayede daha kolay anlamayi saglarlar. kume kuraminin bazi zorluklarindan arinmak icin ortaya ciktigi soylenir. bilgisayar biliminde genis kullanimi vardir. type theory bunlardan birisidir.
  • genelde cebir derslerinde gösterilmesine rağmen topolojicilerin temelini attığı bir kuramdır. russellın mevcut küme teorisine bir sürü kulp takmasından sonra "hadi bakalım buna da kategori dedik" şeklinde ortaya atılmıştır.

    terminolojisi modern matematiğin düsturlarından birini oluşturur. "benzerlikler yapılardan önemlidir" derler mesela, klasik küme teorisine de öldürücü vuruş budur. "yapıyı kabul etmiyorsan ben de sana fonksiyon vermiyorum, yapı vardır dediğin anda aha sana benzerlik" diye dikilir küme teorisinin karşısına.
  • kategori teorisi ya da ulam kuramı, matematik yapılar ve bunlar arasındaki ilişkilerle soyut olarak ilgilenen bir matematik kuram. yarı mizahi "soyut anlamsızlık" olarak da bilinir.

    bir kategori, birbirileriyle ilişkili matematiksel nesneler sınıfının (örneğin grupların) özünü yakalamaya çalışır. geleneksel olarak yapıldığı gibi tekil nesneler (gruplar) üzerine yoğunlaşmak yerine, bu nesneler arasındaki yapı muhafaza edici gönderimler (yani morfizimler) üzerine yoğunlaşır. gruplar örneğinde bu gönderimler grup homomorfizmleridir (bkz: benzerbiçimli). bu şekilde farklı kategorileri funktonlar aracılığıyla ilişkilendirmek mümkündür.

    funktorlar, bir kategorinin her nesnesini diğer kategorinin bir nesnesiyle ve bir kategorideki morfizmi diğerindeki bir morfizme ilişkilendiren fonksiyonların bir genelleştirmesidir. sıkça topolojik uzayın temel grubu gibi "doğal yapılar" funktorlar şeklinde ifade edilebilir. bunun ötesinde, bu tip yapılar "doğal bir bağıntıya" sahiptir ve bir funktoru diğerine ilişkilendirme yolu olan doğal transformasyon konseptine olanak tanır.

    kategoriler, funktorlar ve doğal transformasyonlar samuel eilenberg ve saunders mac lane tarafından 1945 yılında ortaya atılmıştır. başlangıçta bu nosyonlar, topolojide, özellikle cebirsel topolojide, geometrik ve sezgisel bir kavram olan homolojiden aksiyomatik bir yaklaşım olan homoloji teorisine geçişte önemli bir bölümdür. başkalarının yanı sıra ulam tarafından (ya da kendisine atfen), benzer düşüncelerin 1930'ların sonunda polonya okulunda ortaya çıktığı iddia edilmiştir.

    eilenberg/maclane, kendi ifadelerine göre, bu kuramı geliştirirken doğal transformasyonları anlama çabasındaydılar. bunu yapabilmek için funktorlar tanımlamak, funktorları tanımlamak için ise kategoriler tanımlamak gerekiyordu.

    günümüzde bu kuram, matematiğin tüm alanlarında uygulanmaktadır.

    bir kategori c aşağıdaki üç matematiksel durumu oluşturur:

    * bir sınıf ob(c), böyle ögelere nesneler denir;

    * bir sınıf hom(c), böyle ögelere biçimler veya göndermeler veya oklar denir. her biçim f bir kaynak nesne a ve hedef nesne b var.
    f : a › b ifadesi, sözlü olarak ifadesi "f a dan bye bir biçimdir".
    hom(a, b) ifadesi — alternatif ifade olarak homc(a, b), mor(a, b), veya c(a, b) — a dan bye tüm biçimlerin hom-sınıf ifadesidir.

    * bir ikili işlem °, biçimlerin kompozisyonu denir, böylece a, b, ve c herhangi üç nesne için, elimizde hom(b, c) × hom(a, b) › hom(a, c) var.f : a › b nin kompozisyonu ve g : b › c g ° f veya gf olarak yazılır, aksiyom ile yönetilir:

    birleşimlilik : eğer f : a › b, g : b › c ve h : c › d ise h ° (g ° f) = (h ° g) ° f, ve

    özdeşlik: x nesnesi için, burada bir morfizm 1x : x › x var. x için özdeş morfizm denir, böylece her f : a › b morfizm için, elimizde 1b ° f = f = f ° 1a var.

    aksiyomlardan,buna burada her nesne için tam bir özdeş morfizm sağlanabilir. bazı yazarlar sadece kendi özdeş morfizmalarını tanımlayarak verilen tanımından sapabilir.

    kaynak ve daha fazla bilgi : https://webcache.googleusercontent.com/…=clnk&gl=tr
  • temel mantigi matematik teorilerini tek bir cati altinda toplamaktir. soyut matematigin soyutlugunun en ust noktasidir. calismaya baslamadan once iyi bir cebir bilgisi gerekir.
  • anlamaya çalışırken "kuramların kuramı" ya da "soyutlamaların soyutlaması" yani bir çeşit meta-soyutlama olarak anlamlandırdığım hede.

    içine sıçılan ve kayıplara karışan eski ve güzel sözlük formatı jargonunun önemli parçalarından "hede"yi bu vesileyle bana kullandırdığı için ayrıca teşekkür ederim.