şükela:  tümü | bugün
  • yaklaşık 1,4'e tekabül eden irrasyonel sayı.
  • pi sayısı ve euler sayısından sonra en çok sevdiğim sayı. her ne kadar kullanımı diğer ikisi kadar olmasa da yine de güzeldir.

    1 birimlik bir dik ikizkenar üçgenin diğer kenarının uzunluğudur. dolayısıyla x birimlik dik ikizkenar üçgenin uzun kenarının uzunluğu x*kök2 olmaktadır. daha da büyük genelleme ile etrafta bir dik ikizkenar üçgen görürseniz bu sayıyı unutmayın.

    biraz daha yaklaşık değer verecek olursak:
    1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176
  • karenin köşegen uzunluğu da, kenarının kök 2 katı olmaktadır.
    ayrıca sin45'in iki katına eşittir.
  • tanım: irrasyonel bir sayıdır.

    ispatı:

    önce rasyonel sayıları tanımlayalım. a bölü b şeklinde yazılabilen, pay ile paydası tamsayı olan ve pay ile paydası aralarında asal sayı olan sayılara rasyonel sayı denir. rasyonel sayılar q ile gösterilir.
    q={a/b: a, b aralarında asal sayı ve a, b tamsayı}

    irrasyonel sayılar ise q' ile gösterilir ve rasyonel olmayan reel sayıların hepsi irrasyonel sayıdır.

    rasyonel sayılar ile irrasyonel sayıların birleşimi reel sayıları verirken kesişimleri ise boş kümedir. yani hem rasyonel hem de irrasyonel olan bir sayı yoktur.

    şimdi karekök iki'nin irrasyonel olduğunun ispatına geçelim. bunu yaparken karekök ikinin neden rasyonel olamayacağını ispatlayacağız:

    kabul edelim ki karekök iki rasyonel sayı olsun. yani karekök ikinin, a ve b tam sayı olacak şekilde, a/b şeklinde ifade edilebildiğini ayrıca, a ve b'nin aralarında asal yani 1'den başka ortak böleni olmadığını varsayıyoruz.

    karekök iki = a/b (1)

    denklem (1)'de eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak ve sonra içler dışlar çarpımı yaparsak;

    2(b^2)=(a^2) (2)

    şimdi en başta belirttiğimiz üzere a ve b'nin aralarında asal olması için her ikisinin de aynı anda çift sayı olmaması gerekir. bu koşulu sağlamak için a veya b, birinin ya da her ikisinin de tek sayı olması lazımdır. ikinin katı olan her sayı çift sayıdır.

    denklem (2) de gördüğümüz gibi eşitliğin sol tarafındaki (a^2) terimi 2(b^2)'ye eşit olduğu için çift sayıdır. (a^2)'nin çift olabilmesi için a sayısının da çift olması gerekir. çünkü, a sayısı tek ise, a'nın kendisi ile çarpımı da tek sayı olmalıdır.

    elimizdeki verilere göre a sayısının çift olması gerektiğini bulduk. dolayısıyla, karekök iki eğer rasyonelse, üstte ki bulgumuza göre b tek sayı olmak zorundadır (bunu sakın unutmayın). şimdi a'yı çift sayı olarak şu şekilde ifade edelim:

    a=2k (3)

    denklem (3)'deki a'ya denk gelen "2k" terimini denklem (2)'deki a yerine koyalım:

    2(b^2)=4(k^2) (4)

    sadeleştirme yaparsak şu eşitliği bulmuş oluyoruz:

    (b^2)=2(k^2) (5)

    denklem (5)'e göre tıpkı a gibi b de çift sayı çıktı. ama daha biraz önce a ve b'nin aynı anda çift sayı olamayacağını söylemiştik. dolayısıyla, kök ikinin ispatı için gereken, a ve b'nin aralarında asal olma koşulunu sağlayamıyoruz. bu da rasyonel sayı tanımımızla çelişiyor.

    sonuç olarak da karekök iki'ye rasyonel sayı diyemediğimiz için karekök iki irrasyonel sayı oluyor.