şükela:  tümü | bugün
  • kurt gödel. 1931'de yayınladığı incompleteness teoremi ile (kesinlikle her aksiyomatik sistemin değil)* aritmetiği içeren bir aksiyomatik sistemin tutarlı ise içinde doğruluğu yanlışlığı kanıtlanamayan (undecidable) önermelerin bulunabileceğini, karar verilemez önermeler içerdiği için sistemin tutarlı ise -undecidable önermeler peşpeşe sisteme eklense bile- tam olamayacağını; sistemin* kendi tutarlılığını ispatlamaktan aciz olduğunu ve undecidable önermelerin doğruluklarının ancak metamatematiksel çıkarımlar ile görülebileceğini(ancak ispatlanamayacağını) ispatlayıp mantıkta yeni bir çağ açmış filozof, mantıkçı ve matematikçi. evet, hepsi birden.

    yanlış anlaşılmaya mahal vermemek için: sonsuz sistemin sonlu sistem içine izdüşülüp izdüşürülemeyeceğidir problematik olan. hilbert ve gödel'in uğraştığı sistemlerde kanıt kavramı sonlucudur. yoksa "sonsuzötesi tümevarım" kullanarak aritmetiğin tutarlılığı gösterilebilmiştir. (bkz: matematiğin sağlamlığı/#402905) öte yandan wkl0 gibi bir sistemde çok sağlam matematik teoremleri de sonlucu(hilbertçi) anlamda kanıtlanabiliyor. bu gelecekte hilbert'e dönüş anlamına gelebilir..
  • hatta bazıları teoremlerini tanrının varlığını kanıtlamak için kullanırlar.
  • platonist'in allahı..
  • (bkz: godel)
  • bü de phıl 132 dersi alıyosanız çoğunlukla bi tarafınızda patlıycak teoremin yaratıcısı (gödel's incompleteness theorem)
  • doğru olduğu halde, kanıtlanamayacak teoremler olduğunu kanıtlayan matematikçi
  • ali ülger'e göre derinlik ve önem açısından görecelik teorisi ve belirsizlik ilkeleriyle aynı seviyede olan teoremlerini, yine kendisinin verdiği örnekle ve kullandığım geniş alıntılarla, benim gibi kafası allak bullak şahıslar için daha da açarsak:

    matematiğin tümünü dünya, aritmetik gibi bir kısmını da türkiye olarak düşünelim. amacımız türkiye'ye bir anayasa oluşturmak. bu anayasanın üç temel ilkesi olmasını bekliyoruz:

    a) tutarlılık: anayasanın bir maddesi geri kalanlarıyla çelişmemeli.

    b) bağımsızlık: anayasanın her maddesi geri kalan maddelerden bağımsız olmalı, onların sonucu olarak elde edilememeli.

    c) tamlık: anayasa, meclisten geçen her yasa anayasanın hükmü altına girecek şekilde, kapsamlı ve tam olmalı. dolayısıyla anayasa mahkemesine götürülen herhangi bir yasa hakkında, anayasa mahkemesi görevsizlik kararı verememeli.

    bu ilkeler bizce makul ve her anayasın sağlaması gereken ilkeler olarak görülebilir. ve lakin gödel böyle düşünmüyor. ona göre bu ilkeleri sağlayan bir anayasa yapmak mümkün değildir. yapacağımız anayasalar ya tutarsız ya da tam olmayacaktır.

    başka bir ifadeyle, ilk iki ilkeye uyan hangi anayasayı kabul edersek edelim, meclise öyle bir yasa önerisi verebilirim ki, bu öneri yasalaştığı ve muhalefet de onu anayasa mahkemesine götürdüğü zaman, anayasa mahkemesi bu yasanın anayasaya uygun olduğunu da söyleyemez, uygun olmadığını da. bu da yaptığımız anayasanın tam olmadığını manasına gelir.

    matematiğe dönecek olursak, gödel’in teoremi, matematiğin aritmetik gibi bir bölümünü nasıl bir aksiyom sistemi üzerine oturtursak oturtalım, aksiyom sistemimizin tutarlı olması koşuluyla, tamlık ilkesini sağlayacak şekilde o bölümü aksiyomatikleştirmemiz mümkün değildir diyor. yani, aksiyomlarımızın dışına çıkmadan, aksiyomlarımız tutarlı iseler, doğruluğunu da yanlışlığını da ispatlayamayacağımız bir önerme üretmenin her zaman mümkün olduğunu ifade ediyor.

    klasik mantığın temel ilkelerinden biri şöyle der: bir önerme ya doğrudur ya da yanlış; aynı zamanda doğru ve yanlış yahut başka bir şey olamaz. ki paralel olarak gödel’den önce; verilen her önermenin, bu gün beceremesek bile, eninde sonunda doğruluğunun ya da yanlışlığının ispatlanacağı yönünde derin bir inanç vardı. gödel’in gösterdikleri işte bu inancı yıktı.
  • temel bilimlerde calisan biliminsanlarinin bi kisminda gozlemlenen suphecilik, icedonukluk ve titizlik onu nihayetinde paranoyak yapmıstir. son yillarinda mikroplarin heryere yayildigi endisesiyle, suratinda surekli bir kar maskesiyle dolasmaktaydi.