şükela:  tümü | bugün
  • devre teorisinde sistemlerin kararlılıklarını incelemekte kullanılan kriterler. özellikle devre ve sistem analizi dersinde işe yarayabilir.

    özet olarak şu şekildedir.

    bir devreye ait durum denklemlerinden elde edeceğiniz minimal çok terimlisinin tek ve çift polinomlar olmak üzere ikiye ayıralım.

    örneğin, devreden elde edilen minimal çok terimli şu olsun, q(x) = 4s^3 + 3s^2 + 5s + 1

    q(x) [tek] = 4s^3 + 5s
    q(x) [çift] = 3s^2 + 1

    olacaktır. ardından bu tek ve çift polinomların katsayılarını kullanarak şu şekilde bir tablo oluşturalım:

    s^3 : 4 5
    s^2 : 3 1

    ardından s^1 ve s^0 için tabloyu genişletmek amacıyla birkaç hesaplama yapmamız gerekiyor.
    örneğin s^1 satırındaki ilk terimi bulmak için [(3 x 5) - (4 x 1) ] / 3 işlemini uyguluyoruz, ikinci terimini bulmak içinse bu sefer üst satırın 1. elemanı ile 2 üst satırın 3. elemanını çarpıp, üst satırın 3. elemanı ile ilk satırın 1. elemanı ile iki üst satırın 1. elemanının çarpımını çıkarıp sonucu yine üst satırın 1. elemanına bölüyoruz. bu tabloda, sadece 2 satır olduğundan dolayı s^1 satırındaki 2. terim haliyle 0 olacaktır. yani tablomuzun genişletilmiş hali şu olacaktır:

    s^3 : 4 5
    s^2 : 3 1
    s : 11/3
    1 : 1

    şimdi, nerede bu sistemin kararlılığı derseniz, herşey bu tablonun ilk sütununda gizli. önemli olan ilk sütunda görülen işaret değişimlerinin toplamıdır. yukarıda tüm elemanlar pozitif olduğundan toplam işaret değişimi 0 dır. eğer bir eleman negatif olsaydı ( + + - + ) mesela, toplam işaret değişimi 2 olacaktı ( + > - ve - > + değişimi olmak üzere).

    eğer toplam işaret değişimi 0 ise bu sistem kararlıdır.
    eğer toplam işaret değişimi 0 değil ise, bu sistem kararsızdır. (düzeltme için teşekkürler nomean)

    tüm elemanları 0 olan satırların sayısı ise bize, sistemin jw ekseni üzerinde bulunan köklerinin sayısını vermektedir. eğer sadece 1 satırın tüm elemanları 0 ise, 1 kök jw üzerindedir ve bu kararlılığı bozmamakla birlikte yalnızca asimptotik kararlılığın ortadan kalkmasına sebep olur. eğer 2 satır komple 0 olsaydı, bu jw üzerinde katlı kökler olduğuna işaret edecekti ve sistemin kararlı olmadığı anlaşılacaktı.

    peki, bir satır 0 olduğunda alttaki satırlar otomatik olarak sıfır olmaz mı derseniz: olmuyor. tüm elemanları 0 olan bir satır ile karşılaşılınca, o satırın tüm elemanları yerine herhangibir sayı yazılabilir ve tablonun diğer satırları oluşturulmaya devam edilebilir. benzer şekilde işlem kolaylığı olması açısından, tablonun satırlarındaki terimler aynı sayılar ile çarpılıp bölünebilir (tabi işaret değiştirmemek kaydıyla.)

    peki ya bir satırda yalnızca 1 eleman 0 çıkarsa?

    o zaman, işlemlerde ufak tefek bir kaç trick yapılabilir.

    1- başlangıçta kullanılan minimal çok terimliyi, kökü jw düzleminin solunda olan bir polinom (örneğin s+1) ile çarpılıp, elde edilecek yeni polinom ile tablo oluşturulabilir.

    2- mevcut polinomda s yerinde 1/s yazılıp, elde edilen sonucun paydalarını ortadan kaldırmak amacıyla genişlettikten sonra karşımıza çıkan polinom tablo oluşturmakta kullanılabilir?

    ne demek bu?

    yani örneğin bir polinom var elimizde = 4s^2 + 3s + 1, burada s yerine 1/s yazarsak;

    m(s) = 4/(s^2) + 3/s + 1 ki bu da eşittir;
    m(s) = (4 + 3s + s^2) / s^2
    buradaki (4 + 3s + s^2) parçası kullanılarak işlemlere devam edilebilir. peki nasıl olur da bu böyle olur?

    s dediğimiz şey aslında bir karmaşık sayıdır ve r*e^(jw) olarak da ifade edilebilir. biz s^-1 (yani 1/s) olarak değişim uyguladığımızda bu sayı aslında r*e^(-jw) olmaktadır. yani kordinat sisteminde bakacak olursak sayının yatay eksende simetriği elde edilecektir. fakat bizim bu tabloyu oluşturmaktaki amacımız kökler jw ekseninin (yani dikey eksen) sağında mı, solunda mı yoksa üzerinde mi ona bakmak. yani yatay eksenin neresinde diye bakmıyoruz. 1/s değişimini yapmamız, sağ ve sol yarıdüzlemlerdeki kök sayısını değiştirmez yani. o yüzden bu değişikliğe giderek routh tablosundaki 0'lı elemanlardan kurtulunabilir.

    eğer, tablonun ilk sütunundaki toplam işaret değişimi sayısı sıfır ise; m(s) polinomuna kesin hurwitz polinomu denir, bu durumda sistem asimptotik kararlıdır. eğer 1 adet tüm elemanları 0 olan bir satır varsa ve bir işaret değişimi yoksa, m(s) polinomuna hurwitz polinomu denir ve bu durumda sistem sadece kararlıdır.

    yıllar sonra gelen düzeltme:
  • bu kararlılık kriterlerinde sistemin karakteristik denkleminin jw ekseninin sağ yarı düzleminde kökü olup olmadığı belirlenir. eğer varsa sayısı da bulunabilir. bu kriterde bir ana sütun oluşturulur ve sütundaki işaret değişikliği sayısı sağ yarı düzlemdeki köklerin sayısını verir. eğer sağ yarı düzlemde kök varsa sistem kararsızdır. ancak bu yöntem bu köklerin yerini doğrudan bize vermez. bunun için s=z-2 vs. gibi bir dönüşüm yapılarak jw ekseni bir miktar sağa ya da sola kaydırılarak köklerin yeri düzlemi dilimleme yöntemiyle üç aşağı beş yukarı bulunabilir.

    ancak çok uğraştıracağı da bir gerçektir.
  • sistemin köklerinin sağ yarı düzlemde mi, sol yarı düzlemde mi yoksa imajiner eksen üzerinde mi onu anlamamıza yarayan halttır.
    otomatik kontrol dersinin vazgeçilmezlerindendir.

    eğer köklerin hepsi sol yarı düzlemdeyse (bir başka deyişle köklerin reel kısımları negatifse) sistemin kararlı olduğunu anlayabiliriz.

    edit: entry'yi yazmamdan 8-9 sene sonrasında yabancılaştım lan entry'ye. bunu ben mi yazmışım diye kendi kendime düşünüyorum. öyle bir unutmuşum konuyu...
  • yüksek dereceli bir polinomun (mesela 4. 5. dereceden) denklemini çözüp köklerini bulmak zaman alır. denklemi çözmekle uğra$madan sistemin kararlı mı kararsız mı olduğunu anlamak için,
    bu kriterler uygulanır.

    http://www.chem.mtu.edu/~tbco/cm416/routh.html

    kısaca routh kararlılık ölçütü denir. hurwitz denmez.
    1895'te hurwist ve 1905'te routh birbirlerinden ayrı olarak bu ölçütü geli$tirmi$lerdir.
  • *sistemin yalnız kararlı olup olmadığını söyler. ne kadar kararlı olduğunu söylemez.
  • buyuk hoca prof.dr. mehmet c camurdan tarafindan hakkinda a$agidaki yorum yapilmi$tir:

    "if you think of a beautiful woman, you think of catherine zeta jones, if you think of stability, you think of routh array. i used to give kim basinger as an example, but she got old."
  • esasen tablodan çıkan sign change sayısı sistem pole larının orijinden sağa veya sola geçiş sayısıdır. harala gürele uygulanmış bir routh hurwitz methodu tüm poleları right half plane de, kararsızın şahı bir sistemi kararlı etiketiyle karşımıza çıkarabilir. bu nedenle kuşbakışı bi şekilde tek bir pole un yerini kestirmek gerekir bu metodu uygulamadan önce.

    bir de, eğer bir row tamamen 0 gelirse, bir üst row a çıkılıp katsayılar kullanılarak o row un denklemi yazılıp, bu fonksiyonun s e göre türevi alınıp, gelen katsayılar 0 row unun katsayıları olarak yazılır.

    örneğin, bi şekilde s^2 row u 0 0 geldi, s^3 row u ise 1 2 0; bu durumda s^3 row unun fonksiyonu f(s)=s^3+2*s olacağından f'(s)=3*s^2+2 olacaktır, routh huwitz testimize devam edebilmek için kullanacağımız s^2 row u artık 0 0 değil, 3 2 dir bu sayede, testin kalanına aynen devam edilir, başka bir 0 row uyla karşılaşılırsa yine üst row a geçip türev alınıp 0 row u düzeltilir.

    s^3: 1 2 0
    s^2: 0 0 (değil tabi ki de)
    s^2: 3 2 olacaktır.

    sonuç olarak, en az bir pole u left half plane de olduğu bilinen bir karakteristik denklemin routh hurwitz testindeki baş katsayıların işaret değişimi sayısı o denklemin right half plane kökleri sayısını yani sistemin right half plane pole sayısını verir. bu durumda, sisteme kararsız diyebilmek için bir işaret değişimi olması yeterlidir.
  • routh'ın 1874, hurwitz'in ise 1895 yılında birbirlerinden habersiz olarak uyguladıkları bir sistemin kararlı* veya kararsız* olduğunu büyük dereceli polinomları çözmemize gerek olmadan bulmamıza yarayan yöntem. severim kendilerini matlab kullanmadan sonuca ulaştırır bu yöntem.

    ayrıca ikisi de kontrol teorisinde bulunduğu için:

    (bkz: root locus)
  • ismini ingiliz matematikçi edward john routh ile alman matematikçi adolf hurwitz'den alan kriterlerdir.
  • öyle efsane bir şeydir ki hem pole bulmanıza yardımcı olur, hem stability durumunu kontrol etmenizi sağlar. root loci çizerken de epey işe yarar yine. gerek loci'nin imaginary axisi kestiği noktaları bulurken gerek de break-away pointleri türev aracılığıyla bulurken...