şükela:  tümü | bugün
  • yine de sonsuz sayılabilir
  • arkasında yatan anlam, "sayılabilir sonsuz bir kümenin elemanları sayarak eleman sayısını bulmak" değildir.
    sayılabilir sonsuz bir kümenin her elemanına bir tamsayı karşılık geldiği için hayatımız çok kolaylaşır (!) mesela evrendeki çikolata çeşitleri kümesi sayılabilir sonsuz olsun. her çeşide bir tamsayı geldiği için ben bu çeşitleri düzgün bir sıraya koyup sıradan hepsinin tadına bakmaya başlarsam istediğim herhangi bir çeşidin tadına er ya da geç bakacağımı bilirim. çünkü o çeşide karşılık gelen bir n sayısı vardır, ve 1'den saymaya başlarsak ister istemez sonlu bir zamanda n'e geliriz. tüm çeşitleri tatmak sonsuz zaman alır tamam, ama benden hangi çeşidi tatmamı isterseniz ben de onu tadabilirim. ya çikolata çeşitleri sayılamaz sonsuz olsaydı? o zaman ne yaparsam yapayım, sonsuza kadar da beklesem asla tadına bakamayacağım bazı çikolataların olduğunu bilecektim. işte bu kavram bu kadar önemlidir.
  • kardinalitesi alef 0 olan kümelere sayılabilir sonsuz kümeler denir.
  • sadece "1" demenin yettiği sonsuz. tamamını saymak apayrı bi mezvu tabi...
  • aciklamak gerekirse, 1 den sonsuza kadar dogal sayilari (1,2,3..)saymaya baslayin ve her sayi icin bir parmaginizi bukun, 10a geldikce parmaklarinizi yeniden acin ve saymaya devam edin. bu isi ne kadar uzun yaparsaniz yapin o ana kadar saydiginiz tum sayilari kapsamis olacaksiniz, ancak sonsuza dek de saymaya devam edeceksiniz. yani dogal sayilar kumesi sayilabilir bir sonsuzluktur.

    simdi ayni islemi 0 dan 1'e kadar olan reel sayilar icin deneyin. mesela 0.1 artirimlar ile parmaklarinizi bukun, ne goreceksiniz 0.1 den 0.2 ye giderken ornegin 0.15 atladiniz. 0 zaman 0.01 ile saymaya baslayalim, bu sefer de 0.015 i atladiginizi gorecekseniz. ne kadar kucuk adimlarla saymaya baslarsaniz baslayin 0 ile 1 arasinda saymadiginiz reel sayilar olacaktir. yine sonsuza dek saymis ancak her sayiyi kapsamayi becerememis oldugunuzdan 0 ile 1 arasi reel sayilar sayilamaz sonsuzluktur.

    sayet bu basit problemden rahatsizlik duyuyorsaniz reel analiz adli bela dersin alti derece yakinindan dahi gecmeyin. hatta sayi teorisi dersi de almayin. ya da iyisi mi siz matematikci olmayin.

    edit: matematikci degilim, bu dersleri aldim, agzim yandi, benden sonrakiler yanmasin diye soyluyorum...
  • "sayının karnı toktur böyle mevzulara. sonsuz hşştt..."
    * tatlantis yazıtları, bize sıfırı sayıyla mı verdiler bölümü
  • boştan farklı bir küme kendi öz alt kümesi ve doğal sayılar kümesi ile eş güçlü ise sayılabilir sonsuzdur.
  • tam sayilar (...,-2,-1,0,1,2,...) sayilabilir sonsuz bir kumedir.
  • sonsuz odalı otelden faydalanarak tam sayilar kumesinin sonsuz oldugunu gosterelim:

    sonsuz odali otelin numaralari : {1,2,3,4...}

    tam sayilar: { ....,-n,...,-3, -2, -1} u { 0 } u {1, 2, 3,..., n, ...}

    simdi negatif tam tamsayilari sonsuz odali otelimizin tek sayilariyla bire bir ve orten olacak sekilde yerlestirelim.

    -1 ---> 1
    -3 ---> 3
    -5 ---> 5
    .
    .
    .
    -n ---> n
    .
    .
    .

    simdi de pozitif tam sayilari sonsuz odali otelimizin cift sayilariyla bire bir ve orten olacak sekilde yerlestirelim.

    1 ---> 2
    2 ---> 4
    3 ---> 6
    .
    .
    .
    n ---> 2n
    .
    .
    .

    0 da hotelin zemin katindaki odaya gidebilir.*

    0 ---> 0

    z * --> n *

    boylelikle, tam sayilar kumesinin sonsuz odali otelinin numaralari yardimiyla sayilabilir sonsuz kume oldugunu gostermis oluruz.
hesabın var mı? giriş yap