şükela:  tümü | bugün
  • bu denklemin zamana bagli ve zamana bagli olmayani vardir. sinavda denklemi yazana kadar sinav biter.
  • odtü'de mühendislik bölümlerine verilen gudik modern fizik dersinde anlatilmaya çalisilan ancak becerilemeyen, onun yerine sinavda güzel sorularla olayi hakli olarak kavrayamamis fertleri beceren, yine de nefret etmeden saygi duydugum güzel denklem..
  • karmaşık sayı değerli dalga fonksiyonu nun zamanla değişimini belirleyen ikinci derece kısmi diferansiyel denklem.
  • çözümü çok kolay olan denklemlerdir. kuyu içerisindeki parçacıktan giderek, zamandan bağımsız denklemi bile çıkarırız, hatta işin içine zaman fonksiyonunu katarak serbest parçacığın denklemini bile bulabiliriz. acayip şekilli simgeleri ezberlemeden kitapların, hocaların anlattığı yöntemleri geçersek:
    kuyudan başlayalım:
    tek boyutlu kuyunun içerisinde kafadan bir parçacığımız olsun. ve bu kuyuyu "a" genişliğinde ipi sapı belli olmayanından seçelim. parçamız ( hatun değil serbest parçacık) "a" genişliğine kadar hiç bir kuvvetin etkisi altında değil, yani kafasına göre takılıyor, yani ona etki eden manyetik kuvvet sıfıra eşit. peki bu a genişliği ne? çok kolay , 0 ile a arasında demek. bu parça kendi kendine takıldığına göre yalnızca kinetik enerji vardır. bu kinetik enerjiden gideceğiz. (büyük k dan)
    yani toplam enerji=. £=ë=1/2 mv² =büyük k
    şimdi bu parçacığın enrerjisini 1/2 mv² şeklinde yazacağımıza momentumdan giderek p²/2m şeklinde yazalım bu bize aynı zamanda büyük k yı ve ë yi verir. bir loop yaparsak büyük k= ë=p²/2m oldu. asıl iş bundan sonra başlıyor.

    şimdi kararlı dalgamızı bize hocalar ¥(x, t ) = e üzeri -iwt gibi veriyorlar hemen sıçtık zannediyoruz. öyle değil bu, e üzeri -iwt denilen zıkkım aslında ¥(x)= ásin kx +ß cos kx dir. bu bizim dalga denklemimiz, kuyuya dönersek a genişliğindeydi, bu denklemdeki x değerleri a genişliğinde geçerli ( a genişilği 0 ile a arasında demek) şimdi kuyumuza tepden bakarsak 0............. a işte bu noktalar kuyunun deliği oluyor, parçacık da içinde bir yerde takılıyor işte . yani 0 ile a nın dışına çıkamıyor, çıktığında ¥(x)=¥(x)=0 olacak yani denklem buranın dışında sağlanamıyor. yani x bu noktaların hizasında bir yerde xa da kuyunun dışarısında olacağımız için dalgayı çözemiyoruz. aynı şekilde 0 ve a sınır değerlerinde kuyu kenarına çarptığını varsayıp bu değerler için de ( bir sürekliliğe inanıyorum ondan) ¥(x)=0 diyeceğiz. yani ¥(0)= o ve ¥(a)=0 diyeceğiz. bundan sonrası çorap söküğü. x= ve x=a için değerlendirelim.
    ¥(0) için bakalım hemen , ¥(0) =ásin k0 +ß cos k0 olur sinüslü kısmı sıfır çıksa da cosinüs abimiz 1 oluyor malum cos0 =1 denklemi bozan yani =0 çıkmamasına sebep olan kısmı cosinüslü kısmı bunu atıyoruz, kaka bu.
    geriye ásin kx kısmı kaldı heaaa şimdi de sınır değerlermizden " a" ya gelelim bu delikanlıyı denklemde yerine koyarsak yani x=a da denklem ¥(a) =ásin ka oldu , neydi? denklem bu koşullarda "0" çıkmalıydı. demekki sinka=o olmalı, sinüs fonksiyonunu pi, 2pi, 3pi gibi nñ değerlerinde ( n=1, 2, 3 , 4 , 5..... olmak üzere)
    ak=npi gibi değerlerde "0" oluyor. o zaman k=npi/a olmaz mı? olur! yani dalgayı x ve a için 0 değerlerinde paketledik "kuantumladık" şimdi momentuma biraz bakalım:
    momentum =p =h/¢ ( h= planck sabiti , ¢ ise dalga boyu) olduğuna göre bizim yukarıdaki "k" değerini bu formüle entegre etmemiz lazım, p ye bunu modifiye etikten sonra ë=p²/2m formülünde p yi yerine koyup enerjiye ulaşacağız. olaya bitecek yalnız bir sorunumuz var p =h/¢ formülüyle k=nñ/a formülünün ortak noktası yok nasıl p ye entegre edeceğiz? burada devreye dalgaboyu=¢ =2pi/k denklemi akla geliyor. hemen uyguluyoruz. ve k=nñ/a ile çiftleştirerek ¢ =2a/n buluyoruz ( yerine koyup çarpın böyle çıkıyor) sonra p =h/¢ formülündeki ¢ yerine yukarıda bulduğumuz ¢ =2a/n yi yazdık mı
    p=npih~/a olur. buradaki h~ hepimizin bildiği şekilde h/2pi dir. sonra ta en baştaki ë=p²/2m denkleminde p yerine npih~/a yazarsak.......................... ë= n²pi²h~ ²/2ma² buluruz. (n=1, 2, 3, 4, 5...... ) bu kuyu içerisindeki parçacık içinde çıkarılan denklemdir.
    mesela 1. taban seviyesi için n²=1 e gider ve ë= pi²h~ ²/2ma² olur.
    edit: zamandan bağımısız parçacık, serbest, 3 boyutlu, zamana bağlı denklemlerinde çıkarılması [ entry olarak yazılması saatleri bulacağından şimdilik yalan olmuştur. (karakter problemi) ]

    yillar sonra gelen edit| soringeri sikiym
  • aslında dalga değil difüzyon denklemidir. dalga denklemi olsaydı hem zamana hem de uzaya göre ikinci dereceden kısmi türev içermesi gerekirdi. oysa uzaya göre iki, zamana göre birinci derecedendir. bu da difüzyon denkleminin alamet i farikasıdır.

    dalga denklemi olarak anılıyor oluşunun nedeninin, sisteme dair bilgileri içeren fonksiyona dalga fonksiyonu denmesinden ileri gelen bir karışıklık oluşu muhtemeldir.
  • haftanin modasina uyarak soyle yazilabilir: http://sktch.in/#1324699
  • genel ifade ile; e*(psi)=h*(psi). e sistemin toplam enerjisi, (psi) dalga fonksiyonu, h de hamiltonian operatörü. özele girilecek konu değil. gördüğünüz yerde koşarak kaçın.

    edit: sözlük yunan alfabesini desteklemiyor. formülde harf yerine harfin okunuşunu yazdım. tam oldu. şaptı şeker oldu.
  • bazı fiziksel sistemlerin, kuantum durumunun zaman ile ya da zamandan bağımsız değişimini tanımlayan bir kısmı türevsel denklemdir. erwin schrödinger formülize ettiği için schrödinger dalga denklemi diye anılır.
    klasik mekanikte, hareket eşitliği newton'un ikinci kanunudur. bu ve benzer formülasyonlar mekanik sistemlerin hareketini çözmek için kullanılır ve matematiksel olarak sistemde ilerleyen herhangi bir zamanda olacak değişiklikleri ön görür.
    fakat kuantum mekaniğinde ise durum daha farklıdır. kuantum sistemi için newton kanununun eş değeri schrödinger dalga denklemidir.
    kısaca newton'un ikinci kanunu'nun kuantum mekaniğindeki benzeridir diyebiliriz. basit cebirsel bir eşitlik değil, kısmi türevsel denklemdir ve sistemin dalga fonksiyonunu tanımlar.
    klasik mekanikte bir parçacık, zamanın her diliminde kesin bir pozisyon ve kesin bir momentuma sahiptir. bu değerler, parçacık newton'un ikinci yasasına göre hareket ettiği sürece deterministik olarak değişebilir. ancak kuantum mekaniğinde parçacıkların kesin özellikleri yoktur ve parçacıklarla ilgili bir ölçüm yapıldığı takdirde sonuç olası dağılımdan rastgele çıkarılır. yani schrödinger eşitliği olası dağılımları ön görür ve her ölçümün kesin sonuçlarını vermez. ancak bu eşitlik de bir parçacağın dalga fonksiyonunun değişimleri deterministik olarak tanımlanır.
  • ne anassının gözü olan denklemdir o öyle!
  • bu denklem sağolsun nerede bir psi harfi görsem heyecanlanıyorum.