esas ideal bölge

• esas ideal halkası olan tamlık bölgesidir..
• (bkz: erojen bölge)
• esas ideal halkası olan bir tamlık bölgesine verilen isim. f bir cisim olsun. bir cismin trivial -aşikar- ideallerinden başka bir ideali olamayacağından f'in tüm idealleri: kendisi ve cisminin sıfırı -{0f}- f'in birer esas idealleridir dolayısıyla f, bir esasa ideal bölgesidir diyerek tüm cisimlerin aynı zamanda birer esas ideal bölgesi olduklarını iddia edebiliriz. hatta en çok bilinen z tam sayılar halkasının bir esas ideal bölgesi olduğunu gösterelim.
  z tam sayılar halkasının bir esas ideal bölgesi olduğunu iddia ediyoruz. z'den ufak bir parça alıp genelleme yapmalıyız, matematikçi olmak bunu gerektirir. "k, z'nin bir ideali olsun." peki olsun, k bildiğimiz anlamda z'nin bir alt kümesi z kocamaan, k küçücük. yukarıda ne dedik? bir cismin trivial ideallerinden başka ideali olamaz. z cisim ise; k={0z} yahut k, z'yi doğurur. doğurmak: https://i.hizliresim.com/z3by0r.png k'nın {0z} olma durumunu inceleyelim; k={0z}={0.l | l eleman z} = <0z> olacağından, k zaten bir esas idealdir. k eşit değil {0z} iken; en az bir sıfırdan farklı "r" elemanı z'nin alt kümesi olan k kümesi içine düşer. e, 0'da içeriyor k öyleyse en az iki eleman varıdır ki bunlar r ve 0'dır. k, z'nin bir ideali olduğundan ideallik aksiyomları uyarınca, "0-r = -r" de k'nın bir elemanıdır. "r" sayısının her iki toplamsal tersi de k kümesi içinde olduğundan bunlardan birisi "pozitif" olmalıdır. yani, k kümemiz en az bir pozitif z tam sayısı içermekte.
  k idealindeki en küçük pozitif tam sayıya "a" diyelim. bir iddiada daha bulunuyoruz ve diyoruz ki; a elemanı k idealini doğurur. k = <a> öyle demekle olmuyor, bakalım cidden k kümesine ait en küçük sayı kümeyi üretmeye yetiyor mu? a k'nın elemanı olduğundan <a> = {a.l | l eleman z} bu oluşan <a> da k'nın elemanı çünkü a elemanı k'ya ait çarpımın diğer terimi "l" z'nin elemanı ve tüm z'yi dolaşıyor, k'da z'nin ideali olduğundan "a.l" çarpımından elde edilen eleman k'nın içine düşüyor ki zaten amacımız da bu elemanları k'nın içine düşürmekti. şuraya bi yıldız atalım... (*) t diye bir sayı, k'nın elemanı olsun. a ve t tüm tam sayılar için, t = a.q + s ; 0 "küçük-eşit" s < q olacak şekilde q,s eleman z tam sayısı mevcuttur. bu durumda; t = a.q +s öyle ki; s = t - a.q yazılabilir. burada "a.q" çarpımı k'nın içine düşer çünkü q z'nin elemanı a ise k'nın az yukarıda belirttiğim gibi k, z'nin ideali olduğu için eleman k'da bulunur. "t - a.q" ifadesi yazılabilir ve s'e eşittir. 0 "küçük-eşit" s < a ifadesi yazılır, yazımasına da en küçük elemanı "a" kabul ettiğimiz için s = 0 olmak zorundadır. o halde, t = a.q ifadesi, her tam sayı için <a>'nın elemanları şekilnde yazılabileceğinden <a>'nın elemanıdır. böylelikle k'nın her t elemanı da <a> idealine ait olacaktır...
  
  (**) (*) ve (**)'dan k = <a> olur. o halde, z halkasının her k ideali aynı zamanda esas ideal bölgesidir.