cobb douglas üretim fonksiyonu

• sınav dönemleri geçmiş olsa da ukte uktedir diyerek dolduralım bakalım.
  paul douglas amerikalı bir senatördür ve aynı zamanda bir ekonomi profesörüdür. bir gün bir şey fark eder: milli gelirin anamal ve sermaye arasında dağılımı uzun zamandır sabit gitmektedir. yani bir başka deyişle ekonomi büyüdükçe işçilerin toplam geliri ve anamalın geliri uzun zamandır aynı oranlarda seyretmektedir. bunun üstüne douglas merak eder ve bir matematikçi olan charles cobb'a bunun nasıl bir üretim fonksiyonuyla mümkün olmuş olabileceğini sorar.
  sermaye geliri^*= sermayenin marjinal hasılası * sermaye = mpk * k = a*y
  işçi geliri^*= işçinin marjinal ürünü . işçi = mpl * l = (1-a)*y
  burda "a" dediğimiz şey 0 ve 1 arasında sabit bir değerdir ve hangi oranda sermaye ve işçinin etkisi olduğunu gösterir.
  cobb bu fonksiyonu şu şekilde göstermiştir:
  y = f(k,l) = t*(k üzeri a)*(l üzeri (1-a))
  bu fonksiyon cobb-douglas üretim fonksiyonu olarak bilinir.
  
  bazı özelliklerine de değinelim.
  öncelikle sabit verim olduğunu söyleyebiliriz.^* yani sermaye ve işçi aynı oranda artırılırsa üretim de aynı oranda artar.
  bunun matematik açıklaması ise k ve l değerlerinin üstlerinin toplamının 1 olmasıdır. yani,
  a + (1-a) = 1 olduğu için.
  
  örneklemek gerekirse k ve l'nin z gibi bir oranla değiştiğini düşünüp fonksiyonu ona göre yazalım:
  f(zk,zl) = t * (zk üzeri a) (zl üzeri (1-a))
  bunun üstünde biraz oynama yapararsak şu hale geldiğini görürüz:
  f(zk,zl) = t * (z üzeri a) * (k üzeri a ) * (z üzeri (1-a)) * (l üzeri (1-a))
  = z * t * (k üzeri a) * (l üzeri (1-a))
  sonuç olarak
  f(zk,zl) = z f(k,l) = zy olduğu görülür
  yani böylece sabit verimi matematiksel olarak göstermiş olduk.
  
  ikinci özellik için ise önce k ve l'ye göre türevleri alarak işçinin marjinal verimini (mpl)^* ve sermayenin marjinal verimini (mkp)^* bulalım
  mpl = (1-a) t * (k üzeri a) * (l üzeri (-a))
  mpk = a * t * (k üzeri (a-1)) * (l üzeri (1-a))
  
  a'nın 0 ve 1 arasında bir değer olduğunu söylemiştik.
  bu denklemlere bakarak söyleyebiliriz ki sermayedeki artış sermayenin marjinal verimini düşürür, işçinin marjinal verimini artırır. aynı şekilde işçideki artış işçinin marjinal verimini düşürür, sermayenin marjinal verimini artırır.
  bu da böylece ikinci özelliktir.
  
  ukteyi de böylesine açıklayıcı doldurmaya çalışsam da üstler yazılamadığı için ilk bakışta karmaşık gelecektir; ama bir kağıda fonksiyonlar normal, matematiksel gösterim şekilleriyle, üstler falan kullanılarak, yazılması gerektiği gibi geçirildiğinde aslında ne kadar kolay bir üretim fonksiyonu olduğu daha iyi anlaşılacaktır.
• (bkz: paul douglas)
• değişken oranlı üretim fonksiyonu da denir.
  negatif eğimli ve orjine dış bükey tipik bir eşürün eğrisi üzerinde sermaye-emek oranı sürekli değişir, sermaye ile emek ikame edilir değişken oranlı üretim fonksiyonu denmesinin nedeni de bu durumdur.
• cobb ve douglas'tan önce hem thünen hem de wicksell tarafından önerilen matematiksel bir formdur.
  
  zira söz konusu formu cobb-douglas 1928'de, thünen 1841'de ve wicksell 1904'de önermişlerdir. fakat cobb ve douglas bu formun iyi bir tanımını sunmuşlardır.