peano aksiyomları

• son aksiyomu oldukça sorunludur.
  
  biraz sembol yardımıyla anlatmaya çalışalım: "k(a)" demek, k niteliği "a" sayısında vardır demek olsun. "a+1" demek de "a" sayısının ardılı (yani bildiğin bir fazlası) demek olsun. öyleyse son aksiyom (tümevarım aksiyomu) şudur:
  
  her k niteliği için,{k(0) ve [her x için k(x) ise k(x+1)] ise her x için k(x)}
  
  yani eğer bir sıranın en önündeki kişinin şapkası varsa ve eğer önünde şapkalı biri olan herkes de şapkalı biriyse, o zaman bu sıradaki herkes şapkalıdır.
  
  bu biraz dikkat istemesi dışında masum görünüşlü ilkenin sorunu şudur: "her nitelik için" diye yazmak gerekir. oysa tutarlılığı gösterilebilmiş birinci derece mantık sistemleri yalnızca nesneler üzerinde niceleme yapmaya izin verir. nitelikler üzerinde niceleme yaptırmaz. "her nitelik" "bazı nitelikler" gibi ifadeleri kullanmak için ikinci derece mantık gerekir ki onun tutarlılığı kanıtlanamamıştır.
  
  üstelik quine gibileri ikinci derece mantığın mantık sayılamayacağını da iddia etmiştir. şöyle der: "var olan nesnelerdir, mavilik diye nesnelerden ayrı bişi mi varmış ki, bir nesneden söz etmeksizin nitelikten söz edelim?" "her masa" olur da "her mavilik" olmaz!
  
  kuşkusuz gödel'i de unutmamak gerekir. gödel'in tamamlanamazlık kanıtlamalarında da bu son aksiyoma ihtiyaç vardır. bunu içermeyen (birinci derece mantıkla sınırlı) sistemler sorunsuz iken, aritmetik gibi ikinci derece mantığa kapı aralayanlar, gödel'in gazabından kurtulamaz.