standart sapma

• elimizde bir grup sayı olsun. buna dağılım diyelim. mesela insanların 30 soruluk bir sınavdaki doğru cevap sayıları. kimisi 5, kimisi 23, bazısı 29 bazıları da 30 almış olsun. şimdi elimizdeki bu dağılımın ortalamasını bulalım. misal ortalaması 22 olsun. ortalamanın nasıl bulunduğunu ve ne ifade ettiğini hepimiz biliriz. aşağı yukarı bu puanların nerelerde yoğunlaştığını gösterir. ama bazen bu bize yetmez acaba sınava giren insanların yüzde 99 u 23 aldı birkaçı mı bunun altında üstünde kaldı yoksa insanlar değişik düğüşük bir sürü puan aldı, ondan mı ortalama böyle çıktı. işte ortalama bize bu konuda yani kalabalığın değişkenliğinde (variability diyelim buna da) bir katkı sağlamadı. şimdi yeni bir index bulmaya çalışalım ve bu bize ortalama olarak insaların ortalamadan (23) ne kadar uzaklaştığına dair bir fikir versin. mesela diyelim ki herkesin puanından ortalamayı çıkaralım. bu farkları toplayalım ve kaç kişi varsa o sayıya bölelim. bu index kabaca kalabalığın değişkenliği hakkında bir fikir verir... gibi ama değil neden? çünkü farkları alıp toplayınca hep sıfır çıkıyor. ortalamanın hesabından da bunu zaten kestirenlerimiz olmuştur. ortalamanın tanımı gereği o puanların ortalamadan farklarını toplayınca hep sıfır çıkıyor. şimdi yeni bir yaklaşım sergileyelim ki eksilerle artılar birbirini götürmesin ve her seferinde sıfır çıkmasın.
  
  herkesin puanından ortalamayı çıkaralım ve eksilikten kurtulmak için karesini alalım. farkların karelerinin hepsini toplayalım ve kaç kişi varsa o sayıya bölelim. işte elimizde kalabalığın puanlarının ortalamdan ne kadar değişken ne kadar farklı farklı puanlar aldığına dair bir index. bunun adı varyans. varyans çok güzel bir index varyansa bakıp puanlarınhep birbirine yakın mı yoksa puanların çok değişken uçlarda mı olduğuna dair bir fikir edinebiliriz.
  
  varyansın çok güzel bir index olması yanında bir sorunu da vardır. hani bir farkların karesini aldık ya işte o kare alma işinde biz artık 30 soruluk testimizdeki o 30 luk basamak içinde değiliz. mesela ortalama 23 tü ya, işte birisi 1 almış olsun. 1 - 23 etti 22 onun da karesi ohoo 400 ü geçti.
  
  işte burada son bir rütuşla bu variability indeximizi oluşturacağız. sorun kare almaktan kaynaklanmıştı ya, varyans diye bulduğumuz sayının da karekökünü alırsak artık 30 luk basamağımızda olacağız. ve sayılar üzerinde çalıştığımız sistem cinsinden anlaşılır olacak. buna da standart sapma diyeceğiz.
  
  evet, her puandan ortalamayı çıkarıyoruz, karesini alıyoruz (eksilikten kurtulduk), hepsini toplayıp kaç kişi varsa o sayıya bölüyoruz (herkesi hesaba katmış olduk). kare indexten çıkıp eski sisteme dönmek için de karekökünü alıyoruz. işte bize standart sapma. puanların ortalama etrafında nasıl yığıldığını anlatır. az olursa puanların hepsi ortalamaya yakındır. çok olursa puanlar içinde çok az ve çok büyük olanlar vardır (variability fazladır).