merkezi limit teoremi

• (bkz: central limit theorem)
• ana kütlenin çok büyük, normal dağılmış olması, örnek kütlenin yeterince fazla olması gereklidir.
  örneklerin beklenen değeri^* ana kütlenin ortalamasının iyi bir temsilcisidir.
  ana kütle yeterince büyükse, normal dağılmış olmasa bile normal dağılmış var sayılır.
• olasılık dağılımının şekli belli olmayan, bir seri içinden incelenen örnek (n) in büyüyen değerleri için serinin olasılık dağılım fonksiyonunun normal dağılıma yaklaştığını (uyduğunu) açıklayan teorem.
  
  birçok istatistik teorisi bu teorem üstüne kurulur hatta istatistikçi kıçı sıkıştığında "hadi şunu merkezi limitlen normale uyduralım da işimiz kolaylaşsın ehi kiki" diye eşşeklik eder.
  iyi eder mi onu pek bilmem ama taş gibi teorem yapmış adam!
• birgün her dağılımın normal dağılıma uyacağını iddia eden.
• anakütle^* dağılımının normal dağılıma sahip olmadığı zaman kullanılan önemli bir teorem. rastgele örneklemle alınan birim sayısının artmasıyla örneklem normal dağılıma yaklaşır.
  "n --> sonsuz" için ortalaması 0 ve varyansı 1 olan standart normal dağılıma sahiptir.
  merkezi limit teoreminden, anakütledeki birimlerin dağılımı ne olursa olsun, eğer örneklemdeki birim sayısı yeterince büyük ise (genellikle n>=30 olması istenir), örneklem ortalaması normal dağılıma sahip olacaktır.
  eğer anakütle dağılımı normal dağılıma yakın ise bu yaklaşım iyi sonuçlar verecektir.
  
  ekleme: (bkz: normal dağılım/#42471772)
• elektronik devrelerdeki gürültüyü açıklayan bir teorem. çok sayıda aynı istatistiksel dağılımlı elektronlar hareket eder ve ortalamada gauss dağılımlı bir gürültü meydana gelir.
• yale'ın nobel ödüllü profesörü robert j. shiller'a göre; pozitif bilimlerdeki uygulanabilirliği, sosyal bilimler için geçerli olmayan teorem.
  
  prof. shiller, verdiği finans derslerinin ön koşulu (bkz: prerequisite) olarak istatistik dersini almış olmanızı şart koşmaz. ilk derste tahtaya yazdığı 4-5 adet istatistik formülünün yeterli olacağını, hatta istatistiğe giriş derslerinde öğretilen merkezi limit teoremi'nin; ekonomi/finans öğrencilerinin düşünme biçimlerini kötü etkilediği için karşılarına çıkarılmaması gerektiğini savunur.
  
  sebebi neydi ki? diye soranlar için edit:
  
  sebebi; finans piyasalarının -teorinin aksine- bol bol 'fat tail' içermesidir efendim.
• tanım: tanrı bal gibi de zar atıyor diyen teorem.
  
  görünüş olarak rastgele olduğunu düşünebileceğiniz herhangi bir fiziki çokluğu hayal edin. havada şu an olan bütün yapraklar için sürat mesela, veya (ideal dünya için) tüm insanların maaşı.
  
  clt^* der ki, dünyadaki tüm maaşları ölçmek zor olacağından, sen en iyisi birkaç kişilik örneklem grupları üzerinden iş yap, bunların ortalamasını çıkar, bu ortalamaları bi histograma oturt. neyi gözlemlediğinden bağımsız olarak, sana garanti veriyorum, gördüğün şekil çan eğrisi olacak. bunun üstünden de ne yaparsan yap.
  
  bu teoremin gücü ise, gözlemlenen şeyden bağımsız olarak hep çalışmasıdır. daha fazla örnek alınarak çan eğrisine daha yakın dağılımlar elde edilebilir, üzerinden güven aralıkları hesaplanabilir, hipotez test edilebilir.
  
  isviçre çakısı gibidir, yanınızda bulundurmanız tavsiye edilir.
• merkezi limit teorem (central limit theorem, clt) der ki beklenen değeri be varyansı bilinen eş dağılımlı ve bağımsız n rassal değişkenin toplamını kök(n)’e bölersek, elde edeceğimiz normalize edilmiş toplamın dağılımı aynı beklenen değer ve varyanslı normal dağılıma yakınsar. teoremin gücü, anakütle dağılımından bağımsız olmasıdır. beklenen değeri ve varyansı tanımlı ve sonsuz olmayan bütün dağılımlar için geçerlidir. teoremin ispatı, toplamın (bkz: karakteristik fonksiyon)’un taylor serisi açılımının normal dağılımın karakteristik serisine yakınsadığı gözlemlenerek iki satırda ispatlanabilir. olasılık teorisinin en eski ve en kullanışlı araçlarından birisidir.
  
  teoremi anladıysak bir sonraki sorumuz “peki o zaman hangi hızda yakınsar?” olacaktır doğal olarak. bu teorem de berry-esseen teoremi olarak bilinir. berry-esseen der ki eğer rassal değişkenin üçüncü momenti (kendisinden beklenen değeri çıkar, mutlak değerini al, üçüncü kuvvetini al, bunun beklenen değeri) sonluysa, o zaman bu toplamlar için herhangi bir olasılık hesaplandığında arada oluşacak fark (kendisi ve normal dağılım varsayılarak hesaplanan olasılığın farkı) en fazla c/kök(n) şeklinde olacaktır. burada c, rassal değişkenin yalnızca varyansı ve üçüncü momentine bağlı bir katsayıdır. görüldüğü üzere gerçekten de n sonsuza gittiğinde c/kök(n) de sıfıra gidiyor. yani bu sonuç clt’yi gösteriyor.
  
  bu ne işimize yarar derseniz şöyle. diyelim elimizde 10000 tane birbirinden bağımsız değişken var. dağılımı bilmiyoruz ama ilk üç momenti biliyoruz. burada ilk moment, beklenen değer, ikinci moment varyans vs. c değeri 3 olarak hesaplanmış olsun. aradığımız bir olasılık değeri var. dağılımı bilmediğimiz için, ya da hesaplamak çok güç olduğu için bulamıyoruz olasılık değerini. yapacağımız tek şey normal dağılımmış gibi hesabı yapmak. diyelim sonucunda %30 çıktı. sonra c/kök(n) = %3 olduğu için, gerçekten aradığımız cevap yüzde 27 ile 33 arasında sıkışmış demektir. böylece normal dağılım varsayıp geçmiş olmuyoruz, aradığımız değere kesin olarak bir alt ve bir üst sınır çekmiş oluyoruz. bu kadar basit bir teoremin güncel araştırma alanlarında (bkz: information theory) birçok kullanımı mevcuttur.
• doğadaki bir çok dağılımın neden normal dağılım olduğunu da açıklar. çünkü bir çok normal dağılmış şey (zeka, boy, kilo) aslında birçok bağımsız değişkenin toplamıdır. ortlamalar normal dağılıyorsa toplamlar da tabii ki normal dağılacaktır.