asal sayıların sonsuz sayıda olması

• varsayalim ki asal sayilar n tanedirler, p0, p1...pn seklinde.. herhangi bir sayi asal sayilarin carpimlari toplamlari seklinde yazilabilir. sonra diyelim ki a=p0.p1..pn+1 olsun. bu sayi elimizdeki n adet asal sayiya bolunemeyecektir. bu sebeplen asal sayilar cinsinden yazilamayacktir. yani kendisi de bir asal sayidir. demek ki asal sayilar coktur..
• (bkz: olmayana ergi)
• şimdiye kadar bulunan en büyük asal sayı (2^6972593)-1'dir. sanırım bir ara bununla ilgili bir yarışma bile vardı.
• pi asal sayilar olsun. p1= 2, p2 = 3. p3=5 vs seklinde.
  toplam((1/pi), i=1..sonsuz) toplami yakinsamaz, sonsuza dogru gider, o yuzden "coktur"lar (sparse degildirler) . (merten teoremi)
  
  ote yandan ikiz asal sayilari alirsak sadece
  (1/3+ 1/5) + (1/5+ 1/7) + (1/11 + 1/13) .... bu toplamin sonsuz olmadigi asagi yukari 1.90216054 sayisina yakinsadigi kanitlanmistir (brun teoremi, brun sabiti)
  bu durumda ikiz asallar sonsuz olsalar bile sparsedirlar ( azdirlar, nadirdirler)
• olmayana ergi yöntemiyle ispatlıyoruz:
  
  diyelim ki sonsuz olmasin da sonlu olsun. bunlara p1, p2, ...,pn diyelim.
  oyle sey olur mu ilahi? olmaz.
  demek ki sonsuz asal sayilar.
  
  qed. kutu.
• yüzyıllar sonra leonhard euler de bir ispat sunmuştur bizlere ama öklid'in ispatının estetiğinin yanına yaklaşamamıştır bu ispat.
• diyelim ki sınırlı sayıda asal sayı var. bunların alayını çarpıp 1 eklersek, elimizde bu asal sayılara bölünemeyecek bir sayı ortaya çıkar. lakin bu sayı asal sayı olmak zorunda değildir. sadece en az bir asal çarpanı elimizdeki sınırlı sayıdaki asal sayı kümesinde değildir, ki bu bize yeni bir asal sayı verir. bazen bulduğumuz sayı asal sayını kendisidir (3*2 +1 = 7), bazen ise daha büyük farklı bir asal çarpanı olan bir sayıdır (2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1= 30031, 30031 = 59 x 509, 59 elimizdeki kümede bulunan asal sayılardan büyük bir asal sayı).
  
  böylelikle diyebiliriz ki, bilinen bütün asal sayıları çarpıp 1 eklersek doğrudan veya dolaylı olarak yeni bir asal sayı buluruz ve bu işi sonsuza kadar götürebiliriz (çünkü bütün asal sayıların çarpımının bir fazlası, hiçbir şekilde o asallara bölünemez). yani asal sayılar sonsuzdur.
  
  olm çok manyak bişi lan.
• sayı adeti sonsuz olunca, asal sayı adetinin de sonsuz olması markete gidip soda almak kadar doğal
• (bkz: sonsuz odalı otel problemi)
• asal sayilarin genel formulu gibi bilinen bir kavram olmadigindan teorem seviyesinde kalan onerme.
  
  zaman zaman birileri cikip (2^n)-1 li bir sayinin asal oldugunu soyleyip bilinen en yuksek asal sayisi buldugunu soyler ancak n asal olmak sartiyla (2^n)-1 asaldi onermesinin de patladigi durumlar mevcuttur. oturup nasil olabilir diye ugrasmak ayri bir zevklidir ancak sonuc olarak cikan seylerin bir yerlerde patlayacagini unutmamak lazim