preacher

  • azimli
  • energizer tavşanı (785)
  • 2032
  • 0
  • 0
  • 0
  • 5 yıl önce

dördüncü dereceden denklem

4. dereceden bi polinom=0 yani ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 seklinde yazilan denklem cesidi.. cebirsel cozumu 16. yy'da ferrari tarafindan bulunmus.. daha sonra zaten abel ve galois 4. derecenin ustundeki denklemler icin cebirsel cozum (tam olarak sonlu sayida 4 islem ve kok ile esasinda) bulunamayacagini gosteriyorlar.. bu denklemin genel cozumune gelince:

once denklemimizi x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 diye yazip (x^4'un katsayisina bolun herseyi), su tanimlamalari yaparsak:

p = (8b - 3a^2) / 8
q = (8c - 4ab + a^3) / 8
r = (256d - 64ac +16ba^2 - 3a^4) / 256

v, u^3 - pu^2 -4ru + 4pr-q^2 = 0 denkleminin bir koku (ucuncu dereceden denklemin analitik cozumunu biliyoruz).. eger iki karmasik bir reel kok varsa reel olan, ucu de reelse p'ye esit olmadigi surece herhangi biri..

y = sqrt(v-p)

bundan sonra esas denklemin kokleri:

x1 = -a/4 + (-y + sqrt(y^2 - 4(v/2 - q/2y)))/2
x2 = -a/4 + (-y - sqrt(y^2 - 4(v/2 - q/2y)))/2
x3 = -a/4 + (y + sqrt(y^2 - 4(v/2 + q/2y)))/2
x4 = -a/4 + (y - sqrt(y^2 - 4(v/2 + q/2y)))/2

seklinde elde edilir..

bunlarin nerden ciktigina gelince; once ilk denklemde x = z - a/4 donusumu yapilirsa denklem z^4 + pz^2 + qz + r = 0 haline gelir.. bu yeni denkleme uz^2 + u^2/4 terimi eklenip cikarilirsa, dogru u secimi ile denklem m^2 - n^2 = 0 sekline sokulabilir (m ve n, p(z) seklinde birer polinom tabi).. yazilip cizilirse gorulur ki m = z^2 + v/2 ve n = yz - q/2y cikmakta, u'nun degeri ise yukarda yazilan 3. derece denkleme baglanmakta (y de yukarda tanimlandigi gibi).. bu durumda (m-n) ve (m+n) z ustune ikinci dereceden polinomlar olup, cozmemiz gereken m^2-n^2 = 0 = (m-n)(m+n) denkleminde de sonucu bulmak icin m-n=0 ve m+n=0 diyerek iki adet 2. derece denklem cozmek kalir geriye.. burdan bulunan 4 adet z degerinden a/4 cikarilarak x'ler elde edilir..

devamını okuyayım »
28.07.2003 05:42