grup teorisi

• fraleigh bunun temeli olan grup kavramini cok guzel anlatir kitabinda; soyle ki:
  
  sayilar uzerinde toplama ve cikartma islemlerini yalayip yuttuktan sonra, basimiz bilinmeyenli esitliklere carpacak. en basitinden lineer olanlari bilindik toplama islemi icin,
  
  a + x = b
  
  bilindik carpma islemi icinse
  
  ax = b formundalar.
  
  toplama islemi icin ornegin, 5 + x = 2, z'de^* tanimli olsun.
  carpma islemi icin ornegin, 2x = 3, q'de^* tanimli olsun.
  
  bu esitlikleri simdiki bildigimiz cebir ile cozerken, isin icine cikartma ve bolme maydonoz olacaklar. fakat bunu yalnizca toplama ve carpmayla sinirlandirip yapmaya kalkarsak ortaya soyle seyler cikacak:
  
  5 + x = 2
  -5 + (5 + x) = -5 + 2
  (-5 + 5) + x = -5 + 2
  0 + x = -5 + 2
  x = -3
  
  ve
  
  2x = 3
  (1/2)(2x) = (1/2)(3)
  [(1/2)(2)](x) = (1/2)(3)
  (1)(x) = (1/2)(3)
  x = 3/2
  
  bu iki cozumde goruldugu uzere, x'i bulmak icin ihtiyacimiz olan 3 husus soz konusuydu:
  
  toplamali esitlikte,
  1) birlesme ozelligi sayesinde (-5+5) yapabildik.
  2) 0 + x sayesinde x'i esitligin sol tarafinda yalniz birakabildik.
  3) -5'in varligi sayesinde 5'i toplamada etkisiz elemana (0) cevirebildik.
  
  carpmali esitlikte,
  1) birlesme ozelligi sayesinde [(1/2)(2)] yapabildik.
  2) (1)(x) sayesinde x'i esitligin sol tarafinda yalniz birakabildik.
  3) (1/2)'nin varligi sayesinde 2'yi carpmada etkisiz elemana (1) cevirebildik.
  
  goruldugu uzere bu basit lineer denklemleri cozebilmek icin bu 3 gereksinime ihtiyacimiz var.
  
  konuyu biraz daha soyutlastirirsak;
  
  a, x, ve b'nin elemani oldugu bir g kumesinde, oyle bir binary operation * tanimli olsun ki; a * x = b esitligini cozmek isteyelim. ( * carpma degil, islem)
  
  bunu cozebilmemiz icin:
  1) * operasyonunun birlesme ozelligi olmali^*
  2) g kumesinde oyle bir e elemani olmali ki e * x = x * e = x olmali (etkisiz eleman)
  3) g kumesinde her bir a icin oyle bir a' olmali ki a * a' = e olmali (a'nin tersi)
  
  bir kume ve bu kumede tanimli bir binary operation birlikte bu uc aksiyoma uyuyorsa, bu ikisinin olusturdugu yapinin adina da derler grup.
  
  <g, *> bicimindedir notasyonu. (< ve > yanlardan basik)
  
  not:
  fraleigh bunu anneanneye anlatir gibi anlatmis. "grup ne lan?" diye kafasi gidiklananlara faydali olacagini umut ediyorum. gruplardan bahsederken kume uzerinde tanimli islemin anlatimi sirasinda "toplama" ve "carpma" gibi soylemlere dikkat etmek gerek; zira bu tip anlatimlar kisinin meseleleri daha da soyutlastirmasinda engel olabilirler, ve oyle bir binary operation yazabiliriz ki ismine hede der, arkada derya deniz gibi cebir yaptirtabiliriz bu hede ile. oyle bir mapping yapabiliriz ki <g, hede> bile grup olabilir; iyi bir cocuk olursak sirinleri bile gorebiliriz.