hodrick prescott filter

• hp filtre yöntemi olarak da bilinen,makro ekonominin kapsamındaki bir yöntemdir.teknik bir terim olarak açıklamak gerekirse ;
  
  belirli bir serinin kısa dönem dalgalanmalarını arıtarak dorusal olmayan bir büyüme trendi oluşturma fonksiyonunu yerine getirmektedir.
• (bkz: real business cycles)
• rbc modellerini motive etmek için kullanılır. asıl amacı trend oluşturmak değil, oluşturulan nonlinear trendi seriden çıkartarak, cyclic component'i ayrıştırmaktır. model de zaten, çıkan bu component üzerinden yürür. elimizde bir zaman serisi olsun, amacımız bu seriden nonlinear bir trend çıkarmak. bu trendi çıkartabilmek için formülü (aşağıda) minimize edecek değerleri hesaplıyoruz. eğer bu işi sözlükten öğreniyorsanız, nasıl hesaplandığı sizin için pek önemli değildir herhalde. eviews veya matlab'de kolaylıkla yapılıyor hazır şablon ve kodlarla. bu filtreleme işleminde genelde vurgu lambda'ya yapılır, çünkü hesaplanan trendin nonlinearitysi ^* bu değere bağlıdır. genelde çeyreklik datada 1600 olarak alınır. lakin türkiye gibi gelişmekte olan ülkelerde yani volatilitenin yüksek olduğu ülkelerde daha düşük değerler alınır.
  
  min(\sum_{t = 1}^t {(y_t - \tau _t )^2 } + \lambda \sum_{t = 2}^{t - 1} {[(\tau _{t+1} - \tau _t) - (\tau _t - \tau _{t - 1} )]^2 }).\,
• asil olarak elektrik muhendisligi'nin alanina giren filtrelerin ekonomiye uyarlanmis olanlarindan biridir. (bkz: baxter and king filter) ilk olarak robert hodrick ve edward prescott'in 1980'deki (yayin tarihi 1997) calismalarinda degil, edmund whittaker'in 1923 yilinda yayinlanan "on a new method of graduations" adli calismasinda bahsedilmistir.
  
  elimizde {y_{t}}_{t=1}^{n} ile gosterilen bir zaman serisi olsun (n, orneklem buyuklugu). istatistikte bir zaman serisinin trend (\tau), cycle (c) ve mevsimsel trend'in toplamindan olustugu varsayilir. genellikle kullandigimiz veriler mevsimsellikten arindirilmistir. o nedenle elimizdeki y_{t}'nin trend ve cycle'in toplamindan olustugunu varsayarsak, hp filtresi y_{t}'yi trend'den arindirir ve ikisini ayri ayri hesaplamamizi saglar. y_{t}=\tau_{t}+c_{t}, t=1,2,...,n.
  
  belirlediginiz smoothing parameter (lambda) degerine gore trend, y_{t}'ye yakin veya uzak olur. yukaridaki formulu biraz daha acik yazmak gerekirse
  
  minimize
  \sum_{t = 1}^{n} (y_{t} - \tau _{t} )^{2} + \lambda *\sum_{t = 2}^{n - 1} (\tau _{t+1} - 2\tau _{t}+ \tau _{t - 1} )^{2}
  with respect to \tau_{t}.
  
  formuldeki lambda'yla baslayan kismi "yaptirim fonksiyonu" olarak cevirebiliriz. bu kisimda trend'in olabildigince duzgun olmasi amaclanmaktadir. lambda degeri arttikca trend'in daha duzgun olmasi icin yaptirim artar. lambda sifirla sonsuz arasinda herhangi bir deger alabilir. lambda'ya sifir degerini verirseniz, buldugunuz trend, y_{t}'nin aynisi olacaktir. lambda'ya cok yuksek (sonsuza yakin) bir deger verirseniz linear'e yakin bir trend bulursunuz.
  
  bu filtre simetriktir ve trend y_{t}'nin agirlikli ortalamasidir. her noktanin agirligi (y_{s}), hesaplanan trend noktasina (\tau_{t}) olan uzakligi (t-s), n ve lambda'ya baglidir. s, t'ye yaklastikca s'nin agirligi artar. simetrik olma ozelligi ise \tau_{t}'ye ayni uzaklikta olan y_{t-i} ve y_{t+i}'nin ayni oranda agirliklandirilmasiyla ilgilidir.
  
  yukarida belirtildigi gibi hp filter her zaman nonlinear bir trend hesaplamaz. ornegin, elinizdeki zaman serisi linear bir seri ise hp filter, lambda degerinin onemi olmaksizin, trend'i elinizdeki serinin aynisi olarak hesaplar. yani, y_{t}=t ise \tau_{t}=t bulunur.
  
  hp filter'i uygulamak isteyenlere genellikle iki onemli uyari yapilir: 1- lambda degerinin belirlenmesi, 2- trend serisinin baslangic ve bitis degerlerinin guvenilir olmamasi.
  
  1- lambda degeri: yukarida belirtildigi uzere abd gibi gelismis ekonomileri olan ulkelerde
  
  aylik veriler icin: 129600
  ceyrek veriler icin: 1600
  yillik veriler icin: 6,25
  
  degerleri verilebilir.
  
  2- trend serisinin baslangic ve bitis degerlerinin guvenilir olmamasi: trend'in hesaplanma sekli \tau_{t} t=3,4,...,n-2 icin ayni olmasina ragmen t=1,2,n-1,n icin farklidir. bu da trend'in baslangic ve bitis noktalarinda guvenilir olmayan sonuclar vermesine neden olur. (simetri ozelliginin neden oldugu bir sorun) bunu duzeltmek icin farkli metodlar onerilmis olsa da hicbiri, problemin dogasi geregi, kesin bir cozum sunamamaktadir.