• "st. petersburg game" olarak da bilinir.

    karar verme teorisi içinde bir eksiklik olduğu kanısıyla tartışılmış olan düşünce deneyi. daniel bernoulli adlı matematikçi tarafından geliştirilmiştir.

    oyun bir yazı-tura atma oyunudur ve ilk yazı gelişinde biter. yazı ilk atışta gelirse oyuncu 2 dolar, ikinci atışta gelirse 4 dolar, üçüncü atışta gelirse sekiz dolar… kazanır. oyunun ilginçliği şuradadır: bu oyunun beklenen değeri sonsuz dolardır. çünkü ilk atışta yazı gelme olasılığı ve 2 dolar kazanma olasılığı 1/2'dir, yazının ilk atışta değil ikici atışta gelmesi ve 4 dolar kazanma olasılığı 1/4'tür vs.. bu durumda oyunun beklenen değeri:
    bd=(1/2)*2+(1/4)*4+(1/8)*8+(1/16)*16+…
    bd= 1 + 1 + 1 + 1+…..
    olacaktır.

    bu düşünce deneyinin bir paradoks yarattığı şeklindeki sav şu soruyu sorar: böyle bir oyunu oynamak için insanların çok büyük miktarlarda giriş ücreti ödemeyi kabul etmeleri gerekirken, neden böyle yapmazlar?

    bu soruya verilmiş yanıtlar kabaca iki kavramdan hareket ederler.
    birincisine göre, soruda insanların riske karşı tavırları hesaba katılmamıştır. bu kumarın (oyunun) beklenen değeri sonsuz olabilir, ama insanlar risk almama tavrı içinde olduklarından bu oyunu oynamamayı seçerler. riskten kaçınan bir insanın [riske karşı tavırların fayda teorisi çerçevesinde tanımları için (bkz: risk severlik) ] fayda fonksiyonu bu kumarı oynamasını rasyonel kılmayacak kadar riskten kaçınma özelliği gösterebilir. örneğin, x para miktarı, u(x) bir insanın fayda fonksiyonu olsun, ve u(x)= log(x) ile karakterize edilebiliyor olsun. o zaman bu oyundan bu insanın beklediği fayda: (expected utility)
    eu=(1/2)*u(2) + (1/4)*u(4) +…
    eu=(1/2)*log2 + (1/4)*log4 + (1/8)*log8 + …. olacaktır ve bu değer sonsuz değildir, log(4)'e yakınsar. bu da, risksiz olarak elde edilebilecek bir 4 doların faydasına eşittir. yani bu insan, bu oyuna giriş ücreti olarak ancak 4 dolar ödeyecektir.
    ancak paradoksa çözüm getirdiğini ifade eden bu görüşe karşılık ise, aynı insana aynı oyunu ilk seferde yazı gelirse 2 dolar değil 10^2 dolar, ikincisinde gelirse 10^4 dolar vs kazanacağı vaadedilirse ne olacağı sorusu sorulur. bu durumda aynı kişinin bu oyundan beklenen faydası eu=(1/2)log100 + (1/4)log10000 + … = 1 + 1 + 1…= sonsuz olacaktır ve bu kişinin bu kez bu kumara giriş ücreti olarak sonsuz bir tutarı gözden çıkarması gerekir. bu görüşe karşı ancak insanların büyük kumarlara karşı daha fazla riskten kaçar tavır aldıkları söylenebilir; örneğin birçok insan 10 dolarına yazı tura atmayı göze alabilir, ama 1000 dolarına yazı tura atmayı göze alamaz; bu durumda riske karşı tavrı daha risk-sevmezlik yönünde değişmiştir. bu ise , sadece bir tespittir, karar verme teorisini çıkmazdan çok da fazla kurtaramamaktadır, çünkü insanların fayda fonsiyonlarının değişken olduğu gibi bir temele dayanmaktadır.

    oyundaki sorun, gittikçe çok küçük olasılıklara sahip olsa da sonsuz sayıda sonuç olanağı olmasıdır (yazının 500. atışta gelmesi gibi). bunun bir yerde kesilmesi, sorunu çözecektir. aynı paralelde, şu da söylenebilir: insan için 1 milyar dolar ile 10 milyar dolar arasında fazla fark yoktur (aslında bunun da riskten kaçma ve azalan marjinal fayda kavramlarıyla ilişkisi vardır, çok da farklı bir bakış açısı sayılmaz). kumarhanenin kasasında 1 milyar dolar bulunduğunu bilen, kumarhanenin maximum bu tutarı ödeyebileceğini bilen bir insan için kumarhanenin sonsuz sayıda atışa izin vermeyeceği açıktır. kumarhane, en fazla 30 atışa izin verebilecektir (2^30=1 milyar). bu durumda ise yukarıda sonsuz olarak hesapladığımız oyunun beklenen değeri, 30 dolara düşecektir. riske karşı tavrı nötr olan bir insan bile bu kumara en fazla 30 dolar verir.

    bu açıklama da, durumu çözüyor gibi görünse de "ama biz sonsuz paranın ödenebileceği bir durumdan bahsediyorduk, bu çözüm, problemi değiştiriyor" itirazına maruz kalmıştır.
  • baska bir versyonu sudur:
    dealer size 1 dolari bastan veriyor. sonra diyor ki, elimdeki parayi sen dur diyene kadar cikacagim, yazi cikarsa elindeki para uce katlanacak, tura cikarsa bastan beri kazandigin butun parayi kaybedeceksin.

    simdi, elinizde 1 dolar var. oynarsaniz, bi sonraki tura %50 ihtimalle 3 dolarla, %50 ihtimalle 1 dolarla cikacaksiniz, ortalama 1.5 dolar. e deger, degil mi? bu mantiga gore hep oynamaya devam edersiniz. fakat acikca boyle bir durumda para kazanma olasiliginiz 0'dir.

    o zaman maksimum kazanma stratejisi ne olmalidir?
  • (bkz: bankroll management/#20420061)
  • (bkz: martingale)
  • davranışsal iktisat gibi bir bakış açısıyla bakılırsa farlı yorumlar yapılabilir. toplam fayda ve marjinal fayda değişkenleri ne olursa olsun, insanlar bazen rasyonel kararlar veremezler. burada ne kadar giriş ücreti için yüksek bir meblağ ödemek mantıklı görülse de, reelde insanlar bunu tercih etmeyebilirler. bu da tamamen risk anlayışı ile ilgilidir.
  • 1tl ile oyuna giriyoruz, kazanan 2tl alıyor. kazanırsak problem yok. kaybedersek oyun iki katına çıkıyor.
    her başarısız turdan sonra ödenecek tutar (2tl, 4tl, 8tl gibi) ikiye katlanıyor. kazanıncaya kadar oynamaya devam etmek istersek cebimizde ne kadar parayla başlamalıydık?

    matematikçi bir aileden gelen daniel bernoulli bu problemi ilk defa 1738 yılında sunana kadar kabul gören teori bir oyuna dahil olmak için oyuncunun ne kazanacağını önceden bilmek isteyeceği ve cebindeki parayı beklenen getiriye göre riske atacağı yönündeydi. o zaman sunulan ve st. petersburg paradoksu olarak da bilinen bu oyunda ise kişinin oyuna dahil olabilmesi için cebindeki paranın sonsuz olması gerekir.

    bu konunun iki yüz elli yıldır matematikçi, ekonomist ve düşünürleri meşgul eden yanı ise cebinde sınırlı kaynakla insanların neden bu oyunu oynamak istediğidir.

    probleme tersinden yaklaşırsak sonsuz kaynakla oyuna başladığınızda kazanacağınız kesindir.
    ancak dünya üzerinde hiçbir maddi değer sonsuz olmadığından, yazı tura oyununda eğer 1tl ile başlayıp her kaybedişte yatırılan para ikiye katlanırsa; arka arkaya 30 kayıp sonunda 1tl ile başlanan oyunun sonunda kaybedilecek sayı 1.1milyartl olur demiş. milyarda bir olasılık da olsa başta hedeflenen 1tl için çok büyük bir kayıp ama yine de sonsuz değil. oyunu hep karlı bitirmek istiyorsak 30 kaybın ötesinde kazanıncaya kadar devam etmek zorunda.
  • bence baska bir sinirlayici faktorde sonsuz zar atisi yapmanin pratikte olanaksiz olmasidir.

    soyle bir senaryo dusunulebilir

    oyun
    sira ile 0 ve 1 cekecegiz. oyun 0 cekene kadar surecek, kac 1 biriktirdi isen 2 uzeri o paray alacaksin. oyuna giris n lira

    yani 1110 -> 2^3 = 8 lira 110 -> 2^2 = 4 lira. ıstista olarak 0 -> 2^0 = 1 lira degil 0 lira.

    oyuna pek cok kez girme hakkin var ancak her giriste n lirayi oduyorsun. ve oyundaki her zar atimi t saniye suruyor. bu oyunu hayatinda kac kere oynayabilirsin?

    cevap sonsuz degil sinirli bir sayi, bu da beklenen geliri dusuruyor, sonlu yapiyor.
    az once oyunu 10 milyon kez oynadim, oyun basina ortalama 13.58 lira kazandim. 10 milyon oyun icin expected gelir hesaplanabilir sonlu bir sayi
  • ekonomistlerin hiçbir öngörüsünün tutmayışının temel kaynağıdır. bu paradoksu yaratan olasılık dağılımı sağ taraftan kalın kuyruklu bir dağılımdır. yani bu dağılımın ortalamasını bulmanız (beklenen değer) hiçbir şey ifade etmez. sınırsız büyüyebilen değerlerde ortalama yalnızca sizi yanıltır. ortalam değer ne zaman anlamlıdır? sınırlı değerlerde. örneğin bir sınıfın not ortalaması. bir sınıfta alınabilecek notların üst ve alt sınırı vardır bu yüzden bulacağınız ortlama yani beklenen değer anlamlı olacaktır. ne yazık ki hayattaki çoğu değişken st. petersburg paradoksunda olduğu gibi sınırsızdır. örneğin bir kişinin kazanabileceği para alt limit olarak 0 iken üst limit sonsuzdur. bu sebeplebir toplumun ortalama olarak kazandığı para anlamsızdır veya borsada işlem gören bir hisse senedinin ortalama fiyatı size hiçbir şey ifade etmeyecektir, çünkü aynı bu paradoksta olduğu gibi alttan sınırlı üstten sınırsız değişkendir.
hesabın var mı? giriş yap