şükela:  tümü | bugün
  • 1/2'ye eşitmiş bu seri de.
    enteresan.

    ispat:

    s = 1 - 1 + 1 - 1 + …
    1 - s = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + …) = 1 - 1 + 1 - 1 + … = s
    -> s = 1/2
  • sonucu bulabilmemiz için en son teriminin önünde hangi işaretin olduğunu bilmemiz gereken seridir.
  • ohoo, terimlerin dizilis sirasini kafamiza gore degistirme ozgurlugumuz varsa, bu toplamin sonucunu istedigimiz tamsayiya esit cikarabiliriz. al bak:

    1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
    = (1 + 1) + (-1 - 1) + (1 + 1) + (-1 - 1) + ...
    = 2 - 2 + 2 - 2 + 2 - 2 + ...
    = 2 + (-2 + 2) + (-2 + 2) + ...
    = 2

    tam da bu yuzden, sonsuz toplamlarda terimleri istedigimiz gibi yeniden dizme ozgurlugumuz yoktur. matematikte "sonsuz toplam"in tanimi bellidir: ilk terim, ilk iki terimin toplami, ilk uc terimin toplami, ilk dort terimin toplami, vs'den olusan dizi (yani kismi toplamlar dizisi) bir degere yakinsiyorsa terimlerin sonsuz toplami bu degere esittir denir. basliktaki serinin kismi toplamlari 1, 0, 1, 0, 1, 0, ... seklinde ilerledigi icin hicbir degere yakinsamaz, dolayisiyla seri iraksaktir, herhangi bir degere esit degildir.
  • (bkz: sıfır)*
  • önce mantığımıza daha yatkın gelen bir sonsuz toplamı düşünelim;

    1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 ... = ?

    şimdi bu serinin adım adım çıkan sonuçlarını yanyana yazalım;

    1 , 3/2 , 7/4 , 15/8 , 31/16 , 63/32 , 127/64 , ...

    şimdi her adımda çıkan bu sonuçları altalta sırayla yazalım;

    1
    1.5
    1.75
    1.875
    1.9375
    1.96875
    1.984375
    ...

    bu adımları hesaplamayı günler haftalar hatta yıllar boyunca sürdürsek bile çıkan her sonucun bir sayıya doğru yaklaştığını, lakin o sayıya asla erişemediğini farkederiz. bu sayı görüldüğü üzere 2'dir.

    şimdi mantığımız burada şunu söyler bize; eğer bu adımların sonuçları sürekli olarak o sayıya yaklaşıyorsa ve eğer bu adımlar sonsuz kere tekrarlanıyorsa bu sonsuz toplamın nihai sonucu o erişilemeyen sayının ta kendisidir diyebiliriz.

    çünkü sonsuza kadar sürecek bir hesaplamayla bu yakınlaşmanın da sonsuz olması gerekir ve o sayıya sonsuz defa yakınlaşmış bir sonuç e mantıken o sayının kendisini vermesi gerekir.

    evet bu bize mantıklı gelir. hatta mantığımıza sonsuzluğun nasıl bir şey olduğunu kısmen de olsa kavratabilmek açısından oldukça faydalı olur.

    şimdi gelelim bize mantıksız gelen serilere;

    başlıktaki örnek bu serilerden biridir çünkü aynı anda iki sonucu varmış gibi görünür;

    1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ...

    bu serinin sonucu hem 0 hem de 1 olabiliyor diyebiliriz çünkü seriyi herhangi bir yerde kestiğimiz zaman sonuç bu ikisinden biri olacaktır.

    lakin mantıksal problem esas burada başlıyor. sonsuz bir seri kesilebilir mi? yahut parça parça ayrılıp üzerinde oynamalar yapılabilir mi? yani bu serinin gidişatının herhangi bir noktası seriden ayrı olarak incelenebilir mi?

    mesela tüm "1 - 1" eleman çiftlerini paranteze alıp bu serinin toplamının 0 olduğunu söyleyebiliriz ama mantığımız bize der ki en sondaki parantezi ne yapacaksın? zaten sonsuz seride "en son" diye bir nokta olamaz ama işte o en son adımdaki parantez ya açık ya kapalı kalacaktır her zaman. kısaca parantezler de hiçbir işe yaramaz çünkü en son parantezin durumu belirsizdir. yani sonuç gene aynı. gene iki sonuçlu bir seri var elimizde.

    peki o parantezlerin bütününü tek bir eleman gibi düşünürsek? yani parantezi açıp kapamak tek elemanlı bir bütün olsa mesela. ama bu sefer de orijinal serinin akışına müdahale etmiş oluruz. yani bu seri o seriden farklı olacaktır, aynı seri olmayacaktır. çünkü her tek elemanı (1-1) yaptığımız için artık elimizde her elemanı 0 olan yepyeni bambaşka farklı bir seri olacaktır.

    0 + 0 + 0 + 0 + 0 ...

    buradan da sonuç elbette 0 olacaktır. ama bu sonuç bizim eski orijinal serimizin sonucu değil, yeni yarattığımız o her parantez aç-kapayı eleman olarak kabul ettiğimiz serinin sonucu olacaktır. yani kısaca bir seriye müdahale edersek o serinin özünü değiştirmiş oluruz ve onu başka bir seri haline getiririz.

    böyle ucuz parantez numaralarıyla olmuyor bu iş. başka bir şey bulmak lazım demek kiii. internette şu linkte gayet ayrıntılı bir şekilde açıklanmış bu ama kısaca ben de yazayım şuraya. (not: ben matematikçi değilim bu yüzden de benim yazdıklarım her hangi bilimsel bir değer taşımıyor. sadece ilgimi çeken bu ilginç matematiksel ifadenin kendimce yorumladığım hali bu. videodaki adamlar matematikçi olduğu için onların ifadeleri ve yöntemleri daha tecrübe kaynaklıdır. bu yüzden benim yazdıklarımı değil onları dikkate alın lütfen. ben sadece hikaye anlatır gibi tercüme etmeye çalıştım bu videoda anlatılanları. sürç-ü bilim ettiysem affola :)

    neyse evet şimdi öyle bir teknik bulunacak ki, hem yakınsak serilere uyarlandığında onların sonuçlarını etkilemeyecek değiştirmeyecek, hem de bu hiçbir yere yakınsamayan garip serileri aklı selim tutarlı bir hale getirebilecek! bir de tabii orijinal seriye hiç dokunmadan uygulanacak bu teknik serinin elemanlarına hiç bulaşmayacak sadece sonuçlar üzerinden bir şeyler yapmaya çalışacak.

    peki hiç orijinal seriye dokunmadan sadece sonuçlar üzerinden bir şeyler yapılabilir mi? yapılırmış efendim; sonuçlar toplamlarının ortalamalarını almak yeterliymiş. nasıl mı?

    ilk örnekteki yakınsak seride deneyelim bu tekniği hemen. hatırlarsanız bu seri 2'ye yaklaşıyordu;

    1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 ... = ?

    adım adım sonuçlarını yazalım;

    1 , 3/2 , 7/4 , 15/8 , 31/16 , 63/32 , 127/64 , ...

    sonuçlara bu ortalama alma yöntemini uyarlayalım şimdi de;

    1 , (1+3/2)/2 , (1+3/2+7/4)/3 , (1+3/2+7/4+15/8)/4 , (1+3/2+7/4+15/8+31/16)/5 , (1+3/2+7/4+15/8+31/16+63/32)/6 ...

    sadeleştirelim;

    1 , 5/4 , 17/12 , 49/32 , 129/80 , 321/192 , ...

    gene;

    1 , 1.25 , 1.416666 , 1.53125 , 1.6125 , 1.671875 , ...

    ve işte bu sonuçlar serisi de bir sayıya doğru yaklaşıyor ve o sayı da gene aynı sayı; 2. yani bu yeni yöntemimiz sonuca bir zarar vermiyor onu değiştirmiyor. dolayısıyla bu yöntemi yakınsak bir seriye uygulayabiliriz diyebiliyoruz. (bir ilüzyon mu yoksa bu da?) ama nedense mantıklı geliyor! tuhaf...

    diğer serimizde deneyelim bir de bu tekniği. neydi o seri?

    1 - 1 + 1 - 1 + 1 ... = ?

    şimdi sonuçlarını yanyana sırayla yazalım önce;

    1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , ...

    sonra da her sonucun toplamının ortalamasını alıp sonuçları adım adım tekrar yazalım;

    1 , (1+0)/2 , (1+0+1)/3 , (1+0+1+0)/4 , (1+0+1+0+1)/5 , (1+0+1+0+1+0)/6 , (1+0+1+0+1+0+1)/7, ...

    bunu sadeleştirelim;

    1 , 1/2 , 2/3 , 1/2 , 3/5 , 1/2 , 4/7 , ...

    bunu da;

    1 , 0.5 , 0.66666 , 0.5 , 0.6 , 0.5 , 0.57142 , ...

    işte bu yeni elde ettiğimiz sonuçlar serisi de bir sayıya doğru sürekli yaklaşıyor. daha doğrusu her iki elemanda bir bu sayıyı tekrar tekrar veriyor ve diğer tekrarlanmayan eleman sürekli küçülerek o da tekrarlanan kardeşi gibi sonsuzda o sayıyı verecek şekilde durmadan küçülerek ilerliyor.

    bu sayı da 0.5 yani 1/2.

    şimdi şunu düşünecek olabiliriz normal olarak; e bu da bir manipülasyon. seri üstünde değil de sonuçlar üstünde yapılmış sadece tek farkı bu. evet ama ilginç olan şey şu ki bu manipülasyon ilk örnekteki gibi yakınsak bir seriye uyarlayınca serinin elemanlarına dokunmadan gene aynı sonucu vermesini sağlıyor ve üstüne üstlük yakınsak olmayan böyle tuhaf serilerin sonuçlarını yakınsak bir hale sokarak mantıklı bir sonuç elde etmeye doğru yaklaştırıyor sizi!

    matematikçi olmadığım halde bunları neden yazıyorum? deli miyim neyim? hayır sadece kendimce anladığım kadarıyla matematiğin o kurnaz doğasını biraz olsun anlatmak istedim. hatta kendimle konuştum bile diyebilirim. işte matematik, böyle en başta mantıksız gelen ve sonucunu bulmak imkansız gibi görünen böyle paradoksları ufak tefek matematiksel hilelerle mantıklı hale getirip bir sonuç vermesini sağlamak için kullanılır genelde. bu tarz uyarlamalar kuantum fiziğinde de string teoride de sürekli yapılır(mış) ve mantıksız anomaliler böyle yöntemlerle çözülür(müş). yalnız tek şartı, bu yeni geliştirilmiş yöntemlerin hilelerin modellerin vs diğer tüm her şeyle uyumlu olması gerekir.

    yani bu çok uzun belki de gereksiz lafların kısası 1-1+1-1+1... toplamının sonucu 1/2'dir. ve eskisinden çok daha mantıklı gelmektedir şimdi nedense. ama şu 1+2+3+4 ... 'ün nasıl -1/12 yaptığını hala tam olarak anlayamıyorum. çünkü internetteki matematiksel açıklamalarda bile ana orijinal seriyi değiştirip elde ediyorlar bu sonucu hep. sonsuz olan bir serinin elemanlarıyla nasıl oynanabilir nasıl değiştirilebilir mantığım almıyor bir türlü. halbuki şunun gibi naif bir çözümü olsaydı ne de güzel olurdu. bilmiyorum be matematik, bazen hiç anlayamıyorum seni.

    !!!çok gerekli dip not!!!: bu şekilde ara sonuçların ortalamasını alarak bu tarz ıraksak serilerin toplamını bulma yöntemine cesaro yöntemi deniyormuş ve 1890 yılında keşfedilmiş. şimdi burada da bir mantık şaşmazı varmış tabii, olmazsa olmaz çünkü. o da şuymuş; seriye etkisiz eleman olan 0 eklenirse serinin bu yöntemle elde edilen sonucu değişiyor malesef. yani mantıken seriye hiçbir etkisi olmayacak sıfırları seriye her ekleyişimizde serinin bu hileli sonucu değişiyor. ki bu da normal herhalde çünkü zaten ilk başta yaptığımız şey bir manipülasyon sonuçta. bir hileyle sonuç bulmamızı sağlıyor. e bu hilenin de bir zayıf noktası olmalı elbette. mantığım gene ikna olmadı yani. en nihai sonucum bu. yukarıda yazdığımı silmeden onu reddedip son kararımı en aşağıya yazıyorum;

    1-1+1-1+1... toplamının sonucu yoktur kardeşim. bu yakınsak bir seri değildir dolayısıyla mantıklı bir sonucu yoktur amk!... yuh yani bu kadar uğraştığıma değseydi bari keşke. ama olmadı napalım. umarım ilerde gene değişmez algım. matematik işte böyle nankördür efendim. önce mantığınızı kandırır sizi bir güzel ikna eder ondan sonra da utanmadan yan çizer dalavere yapar.

    videodaki cingözler bu seriye sıfır eklemekten hiç bahsetmiyor tabii. matematikçiler de çok kandırıkçı onlara da inanmıyorum artık. fizikçileri zaten çoktan silmiştim. kendimi dine vereyim bari ben en iyisi oh mis.
  • matematikçi değilim, yorumum yalnızca beni bağlar. ama yanlış görüp bilgi vermek isteyen arkadaşların fikrine açığım.

    sonsuzun sonu olmadığı için son terim diye bir şey de olmayacaktır. haliyle son terimin 1 veya -1 olması diye bir durum olamayacağından dolayı bence sonucu yanıtsız kalacak bir seridir.

    yani demem odur ki bu serinin sonucu kendisidir. x'i kaç buldunuz deyince x buldum demek gibi.