nash dengesi

• basit bir şekilde ifade etmek gerekirse, hiç bir oyuncunun pozisyonunu değiştirmek için "incentive"i bulunmadığı denge noktasıdır.
  mesela uzun uğraşlar sonucunda (a,a,a) konumuna geldiniz, eğer bütün oyuncular bulundukları yerden memnun iseler, oyun burada bir dengeye gelmiş demektir. bu dengeye nash dengesi denilmesinin sebebi ise bu denge şeysini nash isimli paranoyak bir iktisatçının bulmuş olmasıdır, yoksa nash'in hiçbir özel anlamı yoktur, tıpkı pareto optimumundaki paretonunda hiç biz özel anlamı olmaması gibi. bugünlük bu kadar.
• simdi buraya yazacaklarimi neden game theory basligi altina yazmadim baslangicta anlamak belki biraz muammali olsa da asil anlatmak istedigim sey correlated actions denen muthis bir sey. bu correlated actions kismi bircok yazilimcinin cozmeye calistigi problemlerin algoritmasini veren bir hikaye aslinda. once kisa bir animi anlatmak isterim bu yazilim olaylari ile alakali. bir de yazilim da mi anlatiyorsun bize diyebilir cunku takipcilerim, bunun gecmisini anlatmak istiyorum.
  
  benim eski ev arkadasim bir bilgisayar muhendisiydi. ankara fen mezunu, odtu bilgisayari bitirmis, evime tasindigi siralarda da odtu teknokentte calisiyordu. hayatimda gordugum en zeki insanlardan biriydi. arada kavga filan ederdik ama aslinda iyi gecinirdik. bir dort sene filan ayni evde yasadik. cok sey paylastik gercekten. selam olsun buradan denk gelir belki.
  
  tam benim continuum mechanics, advanced engineering mathematics filan aldigim donem evde odev yapiyorum, bu da masada oturuyor, elinde telefon rehberi gibi bir kitap, sirak sirak sayfa ceviriyor boyle hirsla, benim de dikkatim dagildi buna baktim, o da gordu beni, "ya vitru" dedi, "soyle" dedim ben de, "ya dedi sen matrisin turevi nasil aliniyor biliyor musun?" dedi. benim kafamda atom bombasi patladi.
  
  aklima bir anda gelenleri hatirliyorum kafam isinmisti bir anda, wronskian gordum bir gozumde hemen, ondan sonra differential algebraic equations geldi, hemen ardindan eigenvector derken, "acaba buradan mi anlatsam yoksa...",
  
  deformation gradient, first piola kirchhoff stress tensor, dur lan o simetrik degil, second piola kirchhoff stress tensor, covariant derivative ulan bunlarin hepsi ama tensor adam matrix dedi, deformation gradient'in gree-langrangian strain tensorune gore turevi filan gecerken aklimdan dogru soru geldi aklima sormam gereken!
  
  "neye gore abi turev?" dedim. oyle ya, turevi neye gore alacaktik. kafam neden acimis anladim o sirada cunku. simdi ufak bir notasyon vermem gerekiyor.
  
  a scalar olsun
  a| vector olsun
  a|| tensor olsun
  
  simdi ax'in turevi basit a
  a|.x'in turevi de basit a|
  a||.x'in turevi de basit o da a||
  
  ax^2'in turevi 2a
  matrixin ya da vectorun karesi ne peki? iste o isler degisik linear algebra dunyasinda o yuzden asigiz linear algebraya.
  
  a|transpose.x.a| ya da a||transpose.x.a|| bu kare gibi calisiyor linear algebrada hepsinin ispatlari var ve basit seyler ama cok buyuleyiciler. 2011 yilinda yazin teyzemin evine kapanip howard anton'un elementary linear algebra kitabini bitirmistim. neden yaptigimi bilmiyorum ama gercekten gercek hayatta cok isime yaradi. bununla da alakali bir hikayem var onu da baska zaman anlatirim.
  
  direkt turevleri vereyim konu uzuyor,
  
  vektor icin 2a|matrix icin 2a|| olacak.
  
  evet bu yukaridaki transposelu vectorlerin ya da tensorlerin turevleri (yukarida verildi) daha dogrusu o vectorlerin ve tensorlerin coefficient matrixleri, iste data structurecilar ya da dataci yazilimcilar tensor nedir bilmezler, daha dogrusu ozunu bilmezler, bunlar neden icat edildi? heralde big data islemek icin bulunmadi bu matematik degil mi? contravariant manifoldlar vs, pull-back, push-forward manifold transformationlar, tangent space, cotangent space vs continuum mechanics calisanlar biliyor, fluidciler bilir bir de quantum mechanics calisanlar biliyor. kisacasi fizikciler biliyor. neyse, o yuzden coefficient matrix deriz biz duz matrixlere icinde sadece scalar dolu olan matrix demektir, bu transposelu olanlar bizler icin stress transformation isleminde kullanilan material objectivity denen malzeme kutle enerji ve momentum korunumunu karsilayan bir sarttir aslinda. bir ayagi thermodynamics (isil devinge) bir ayagi da differential geometry'de olan bir mevzu.
  
  iste audi'nin neden 4 cekeri dunya'nin en iyi 4wd, torque vectoring differential konusunda adamlarin know-how su an kimsede yok. 4 tekerlege de ayri ayri guc aktarimi yapabilen tek 4wd teknolojisi bunlarda. tabii ki bunu %100 yapamiyor fakat %100 yapmanin da luzumu yok zaten. o yuzden audi'nin rs modelleri gercekten cok guzel oyuncaklar. ayni mekanik saat gibi, ki mekanik saatleri de cok severim. bunlar insanligin biriktirdigi teknoloji ve tecrubeyi sanata cevrildigi oyuncaklar. gercekten anlatmasi cok zor. o yuzden bir girard perregaux onbinlerce euroya satiliyor. rolex mesela benze sekilde. gerci ben rolex sevmem, ayni bmw gibidir gozumde. gorgusuz isi. saate pirlanta takmak marifet degil, asil marifet o sasmaz makinayi yapmakta. ıwc vs. bu saat konusunda da bir animi anlatacagim bu arada. yazi uzun oluyor ama olsun.
  
  turkiye'de yasarken, istanbul-ankara arasinda cok sik gider gelirdim, ailem istanbul'da yasiyor. o zamanlar da havaalani yesilkoyde, ev de cok yakin havaalanina, cok pratik oluyordu. otobusle de gider geliridm o da guzel oluyordu, o zamanlar varan vardi. neyse. bazen arada birikmis millerle filan business ucardim. lounge'a girmesi filan zevkli oluyor. bir defasinda sansima esenboga-ataturk ucusunda a330 denk geldi. oha dedim sansa bak. business ucuyorum yurtici ve denk gelen ucak a330. ucaga binerken de sordum hostese, dedim bu ucak nereden geldi diye. new york istanbul yapmis, ucus saatini doldurmak icin de istanbul-ankara, ankara-istanbul yapiyormus, sonra ekip degisip istanbul- new york yine. yani aslinda o business class istanbul-new york business class'i yani. ucak onun icin hazirlaniyor yani.
  
  neyse yerime gectim, ikinci sira sag taraf koridor almistim, 2j idi yanlis hatirlamiyorsam. lale bardaklarda renkli meyve sulari geldi, iste ben de dergi mergi karistiriyorum, business class'in dergisi farkli oluyor bunu biliyordum da, yurtdisi ucanlarda baska bir dergi daha varmis. bakiyorum actim icini, yemin ediyorum hicbir markayi daha once duymamisim. o zaman anladim iste, bazi markalarin reklamlarini biz siradan faniler gormuyoruz bile : ). hani dupont cakmak, mont blanc canta filan luks saniyoruz ya, neler neler yani. o dergide ne saat markalari vardi hic duymadigim. ben saniyordum ki luks saat rolex filan. rolex reklami yoktu yani oyle diyim. o gun anladim iste rolex de aslinda gorgusuz tokatlayan bir firma oldugunu. iste bakis acisi kazandiriyor. buyuk havayollarindan bir tek qatar ile ucmadim, bu lanet pandemi biterse belki arap gorgusuzlerin business class'ina basacagim parayi : ) bence her insan hayatinda bir kez olsun deneyimlemesi gereken bir sey, kitalararasi business class. yani bu sadece meyve suyu muhabbeti degil, gozlem icin cok onemli. orada bir anda kafanizda simsek cakabilir ve bir is fikri gelebilir bunu hayata gecirebilirsiniz. gercekten bu boyle. biz asil konuya devam edelim.
  
  differential geometry dedik ve anlayanlar anladi, john nash'e buradan gecis yapiyoruz. john nash'den de ekonomiye gececegiz tabii ki. yaa kim derdi bundan 9 yil once sen otur linear algebra calis sana kimse zorunlu kilmamisken, sirf merakindan, daha sonra git odtu makinadan continuum mechanics dersi al, differential geometry ogren filan sonra merakindan yine riemann surfaces, inregral neymis ogren, sonra john nash'in aslinda riemann uzayindaki manifoldlari subspaceler halinde euclidean geometrisindeki karsiliklari oldugunu soyledigi bir teoremi var. zaten john nash'i hepimiz biliyoruz a beautiful mind yani, bu oyun teorisi neymis diye bir bakayim dedim o zamanlar.
  
  kisa not: e yazilimci n'oldu diyecekler icin, baktik hallettik onun islerini, zaten bebe zehir, ipin ucunu yakiyorsun kendisi akitiyor. fakat cocuk felaket zekiydi, bu anormal zekilerden, kendi kendine evde bagiriyordu filan. gercekten cok saygi duyarim ona. adama hep en zor en pislik isleri verirlerdi. bir ara aselsan'da bir projede calisiyordu. neler neler anlatti ya bana, yazilim tabanimi kuran adam odur bende yani. programlama dilinin hic onemli olmadigini, algoritma kurmanin onemini onun anlattigi hikayelerden ogreniyordum. sonra ben de kendi islerim icin kucuk kodlar yazdim, bana vakit kazandiriyordu is yaparken, artan vakti de iste kitap okumaya ve serserilige harciyordum. bir gun matematikci hilbert matrixi ile alakali bir odev vermisti, buna sormustum, "olm sen n'apiyorsun lan hilbert uzayi filan" demisti. sen mekanikci degil misin diyordu. cok efsane anilarimiz var ya o cocukla. valla selam olsun. biz devam edelim.
  
  simdi burada basliyor game theory aahah amma tantana yaptim he.
  
  game theory oyle manitacilik mevzusu degil. cok ciddi bir is aslinda. temelinde sunu soyluyor. gelecegi goren bir robot yapilsa dahi piysa o robotun hareketlerini gorur ve taklit eder o yuzden robotun gelecegi gormesinin bir anlami kalmaz der. bunu ben boyle soyluyorum ama ozunde bu vardir. nu da suradan gelir: trusted party. nedir bu trusted party? buradan da iste correlated actions muhabbetine gelecegiz. oradan correlated action recommendation kismina gelecegiz. yani yukaridaki gelecegi goren makinaya yaklasiyoruz eheh.
  
  simdi soyle dusunun ahmetler zuccaciyecilik ve mehmetler zuccaciyecilik isimli iki tane bricks-and-mortar tarzi dukkan olsun. bricks and mortar store ne demek size odev olsun ahahah.
  
  bu iki dukkan da iste ayni vazodan satsin sadece. boyle ilginc iki tane isletmeci iste. sadece vazo satiyorlar ve ayni vazo bu da. dukkanlari da iste yakin birbirine. simdi olay soyle:
  
  bunlar neydi o fonksiyonun adi, fayda fonksiyonu mu, utility function maximize etmesi icin hangi strateji ile hareket etmeli ve bu hareketin probabilitesi nedir hesaplamasini yapabilen bir teoridir oyun teorisi. biz devam edelim, elimizdeki ornek basit zaten.
  
  ahmet ve mehmet ikisi de indirim yapmaz. (1)
  ahmet yapar mehmet yapmaz. (2)
  ahmet yapmaz mehmet yapar. (3)
  ikisi de yapar. (4)
  
  1. durum icin de satilan mallar uzun vadede esit olsun diyelim ki 10 ahmet 10 mehmet satiyor olsun.
  2. durum icin de ahmet indirim yaptigi icin daha cok mal satacak, 14 tane satti, fakat mehmet daha az satacak 4 tane olsun, bunlarin toplami da ikisinin de indirim yapmadigi durumuna gore daha az mal satilacak yani toplam 18 mal.
  3. durum zaten ahmet ve mehmetin yer degistirmis hali o yuzden ayni, toplam 18 mal bu sefer mehmet 14, ahmet 4 tane satacak.
  4. ikisinin de indirim yaptigi durum ise en kotu durum, piyasa bu iste bir gariplik var diyip ikisinden de 5er tane mal alacak. hatta belki bunlardan almayacak gidip baskasindan pahaliya alacak. buna da 0 0 diyelim. toplam 0, ahmet 0, mehmet de 0.
  
  simdi hikaye su: ahmet de mehmet de ikisi de efendi gibi durup indirim filan yapmasa bu ikilinin olusturdugu grup icin (uzay icin) en iyis oluyor. en cok mal boyle satiliyor. utility function max. fakat ahmet ya da mehmet bu ikisinden biri, oteki nasil olsa indirim yapmiyor diye dusunup indirim yapabilir, ki genellikle bu oluyor, daha sonra oteki de yapip en kotu senaryo gerceklesiyor. bu butun olasilik uzayi bu ikilinin birbirlerinden bagimsiz hareket ettikleri durum icin gecerli. fakat insanoglu hin, insanoglu cig sut emmis. diyor ki, "ya ben trusted party" bulursam bir tane, yani guvenilir bir kisi. hani third party gibi, trusted party, buradaki party o anlamda. ben onun ne aksiyon alacagini bilirsem (dikkatli gozlerin kalpleri hizlandi, aksiyon kelimesi gecti), ben de ona gore aksiyon alirim ne guzel, hihihi diyor kurnazca. iste bu olayin adi correlated action. yani otekinin aksiyonu ile korelasyonlu bir aksiyon alma hali. "o indirim yapmiyorsa kesin, ben yaparim, 10 satacagima 14 satarim o mal 4 satsin" diyor. ha oteki "ben neden 4 satiyorum ya uzun zamandir, ahmet kac satiyor ki?" diye sordugunda olay zaten anlasiliyor ama o arada iste mali goturdu ahmet.
  
  bu bir yerden tanidik geliyor mu? "ya tuh mali elimize verdier", "abi tam ben aldim kagidi caktilar", "ya ben satiyorum, sanki satmami bekliyorlarmis gibi kagit birden ucuyor". bunlar tesaduf degil canlarim benim. guzel aziz yatirimci. bunlarin hesabi kitabi yapiliyor. bu mumkun. olay nerede gizli? bundan sonrasini anlatmayacagim. cunku bosuna yukarida o kadar matematik, datacilik, yazilimcilik konusmadik.
  
  corelated action recommendation denen bir terane daha var. o da baska bir zamana kalsin.
  
  edit: carpimlari nokta ile gosterdim, bos birakinca kotu gorundugunu dusundum.
• üç abazan nasıl başarıya ulaşır sorusunun matematikteki eşitliğidir. " millet ders çalışırken sen karı peşinde koşuyosun" diyenlere kapı gibi cevaptır.
• prof. dr. john forbes nash tarafından ortaya atılan ve savunularak ispatlanan tez iken teori olan.
  filmden hareketle ve elimiz klavyede döndüğünce açıklamaya yeltenecek olursak:
  asıl mantık, adam smith'in düşüncesi olan "rekabet durumunda kişisel hırslar ortak çıkarlara hizmet eder" mantelitesinden alınır ve bu mantalite üzerinden hareket eden bir grup için "en iyi sonuç için gruptaki herkesin kendisi için en iyi olanı yapması gerekir" eylemini biraz daha değiştirip "sadece kendisi için değil, hem grup için hem de kendisi için" gibi bir eklenti de bulunur.
  1 tane çok güzel kız, 3 tane az güzel kız olsun. -filmde verilen örnekle birebir olsun-
  4 kişi aynı anda çok güzel kıza yönelirse, bu kazanma şanslarının olmayacağını gösterir. nitekim hepsi için %25 ve diğer kızların yapacağı çirkefliklerle belki daha da az.
  bölüşülür ve 3 kişi az güzele, 1 kişi de çok güzele yönelirse, başarı şansları çok daha yüksektir ki bu şekilde herkes her kız için diğer şartlar sabit olarak ele alınırsa -ceteris paribus- başarı oranı %100 olacaktır.
  bu düşünce john nash'in bulduğu denge kuramına kadar olan düşüncedir.
  bundan sonra john amca burada bunun üzerinden biraz daha fazla düşünüp şunu farketmiş:
  "gruptaki herkesin kendisi için en iyi olanı yapması düşüncesinde başarı oranları yükseliyor fakat bu yine çıkarların kesişmesine engel olamıyor."
  "o zaman" demiş: 4 kişiden 3'ü az güzele, diğerleri çok güzele yönelirse -yani az önceki düşünce-, bu az güzeller kendilerini 2. olarak görmek istemeyeceklerinden bu yine verimi düşürecektir. ayrıca asıl güzele kimin yöneleceği konusunda bir çıkar kavgası oluşacaktır.
  eğer "herkes kendisi için en iyi olanı yaparsa" çıkar kavgası önlenemez, fakat "herkes hem kendisi hem de grup için en iyi olanı yaparsa" kimse için hiçbir şekilde çıkar kavgası olmayacaktır: yani kimse asıl güzele yönelmez ve herkes az güzele yönelirse, ne çıkar kavgası olacak, ne de az güzeller kendilerini 2. plandaymış gibi görecek.
  böylece bir denge sistemi içinde herkes mutlu olacak ve kavga çıkmayacak.
  negzel! bunda anlamayacak ne var ki?
  kaynak: filmden anladığım kadarıyla john forbes nash'in düşünceleri
  
  peki asıl güzel ne olacak?
  burdan yorumlarsak en yanıbaşımızdaki örnek, başımızı sokmak gayesine büründüğümüz, avrupa birliği'ndedir: avrupa kömür çelik topluluğu'nun kuruluşu esnasında -20. yy'nin ikinci yarısında- jean monnet diye bir amcam şunu demiş, ne demiş:
  "yahu bu almanya fransa ne kadar çok savaşıyo şu çelik kömür için, özellikle döt kadar avrupamızda bunun en çoğunu kapsayan saar havzası için. şimdi biz dersek gelin gardaşlar şunu geniş çaplı düşünelim ve bunu paylaşalım hatta bir efendi yapıp yetkilerimizi bu efendiye verelim ve bu bizim yerimize paylaşsın." yani egemenliği, asıl olanı, kömür ve çelik üzerindeki egemenliği paylaşalım. kaynak: ibrahim s.canbolat, ab’nin genişleme süreci ve türkiye, bursa: alfa yayınevi, 2003
  -şimdi nash amca tabi ki asıl güzeli paylaşalım, güzide dilber üzerinde turnike yapalım diyemedi ama aslolan mantığın bizi götürdüğü sonuç zira bu: "hem grup için hem kendisi için küçüklere yoğunlaş büyükleri paylaş".
  
  başarısız bir örnek ise, yine sujelerimiz fransa ve almanya'nın müttefikliklerinin bozulmasına sebebiyet veren sevr yani osmanlı'nın paylaşılmasıdır.
  bununladır ki osmanlıyı ben mi sen mi daha çok istiyosun üzerinden gelen paylaşım manyaklığı (kanaatimce) adam smith'in mantığının eksikliğini de beraberinde getirmektedir.
  kaynak: baskın oran, türk dış politikası - geçmişten günümüze olgular belgeler yorumlar, (der. baskın oran), cilt 1, istanbul: iletişim yayınları, 2004
• john nash princeton'da doktora öğrencisiyken aklındaki nash equilibrium fikriyle o dönemin kral matematikçisi john von neumann ın kapısını çalmıştır. bir hocadan çok ingiliz lordları havalarındaki von neumann kendi geliştirdiği cooperative (uzlaşmalı) oyunlarla taban tabana ters öneriyi görünce nash'e cevaben "that's trivial you know. that's just fixed point theorem ("bu önemsiz birşey sadece sabit nokta teorisi") demiştir. boynu bükük nash, einstein'ın kapısını da arşınlasa da nafile olmuştur. nitekim profesor tucker nash'in elinden tutmuş ve meşhur tezini yazmasında ve nash dengesini geliştirmesinde yardımcı olmuştur.
• nash'in bir tesbiti vardir ... universite yillarinda arkadaslari ile beraber takildiklari barda uzun suren "scoring" denemelerinden sonra ortaya ciktigi iddia edilmektedir ... bu tesbite gore eger bardaki cekici, guzel ve populer kadinlara yaklasmaya calisirlarsa basari sanslari kesin olarak dusmektedir ... oysa ki barda yanliz oturan, ya da o kadar da guzel ve cekici olmayan kadinlarda basari sanslari cok daha yuksek ve consistent olmaktadir ... himm, why did it take so long nash ? bu dersten cikartilmis pazarlama ve ticaret teknikleri okutuldugu iddia edlir bazi okullarda
• a beautiful mind filminde anlatılan durum bir nash dengesi değildir aslinda. nash dengesinin gerçekleşebilmesi için oyunda yer alan bütün oyuncuların verilen durumdakinden başka bir strateji uygulamaları için herhangi bir teşvikin olmaması gerekir.
  ancak filmde, herkes sarışın kızın arkadaşlarına yazdığı zaman, gruptan herhangi biri sarışın kıza yazarak, kendi fayda fonksiyonunu maksimize eder.
• aslında john nash'ten once, fransız iktisatçı cournot aynı denge kavramını kullanmıştır, duopol ve oligopol piyasaların denge fiyat ve miktar düzeyini hesaplarken.
  
  nash dengesinde hiçbir oyuncu, diğerlerinin davranışı veri iken, kendi davranışını değiştirerek daha iyi bir konuma gelemez. ancak nash (ya da cournot) dengesi, her zaman pareto optimum koşulunu sağlayan bir denge değildir. yani başkaları davranışını değiştirmezken, bir oyuncu davranışını değiştirerek avantaj sağlayamaz ama, kimi zaman ortaklaşa ve aynı anda bir davranış değişikliği ile birden fazla oyuncu daha iyi bir konuma gelebilir. (bkz: prisoners dilemma) (bkz: john nash)
• rakiplerin kararları veri iken, her oyuncunun kendi menfaatlerini maksimize etmek üzere aldıkları kararlar sonucunda oluşan strateji dominant stratejidir. rakibin kararına göre alınacak karar ise nash dengesini oluşturur. nash dengesi aslında karşı tarafa göre hafiften hüsrana uğradığınız bir dengedir.
  
  örneğin; makul düşündüğünüz zaman karşı şirketin her halükarda ama her halükarda reklam yapacağına kanaat getiriyorsanız ve siz ne yaparsanız yapın adamın kararını değiştirmeyeceğine inanıyorsanız(rasyoneliz hepimiz çünkü) alacağınız karar rakibin reklam yapmasıyla beraber size maksimum faydayı sağlamalıdır. aynı anda siz de reklam yapar fakat reklamlarınız kesinlikle tutmayacaksa, çünkü siz zayıf ve reklam kültüründen uzak bir fimaysanız, o halde reklam yapmamayı tercih edersiniz. o halde, adamın kararı veriyken sizin aldığınız kararla birlikte nash dengesi oluşmuş olur. halbuki gerçek hayatta zaten hep böyle şeyler olur ama bunu matematikle ifade edince adınızı filan veriyorsunuz işte olay bu. ^*
• (bkz: cournot-nash equilibrium)
  (bkz: augustin cournot)
  ayrıca (bkz: final haftasi sozlukte artan bilimsel entryler)