• bir polinomun kökleri ile köklerin permütasyon grupları arasındaki ilişkiyi inceleyen, onların arasında özel bir ilişki bulan ve derecesi 4'ten büyük polinomlarda bu ilişkinin hep olmayabileceğini söyleyen teorem.
  • galois'nin olmeden once insanliga bahsettigi, iki alakasiz gozuken matematiksel nesne arasinda (gruplar ve cisimler) temel bir bag oldugunu kesfeden teori. o diyagramlari cizip de vay anasini demeyen yoktur herhalde. matematigin guzelligine dair belki de en carpici ornek.
  • galois teorisinin önemi alan kuramı ve grup teorisi arasında bir köprü olmasıdır. teorinin sahibi ise evariste galois'dir.
  • bir denklemin radikaller tarafından bir çözümü olup olmadığına karar vermenizi sağlar.
    ((bkz: evariste galois))
  • cisimlerle grupları bağdaştıran teori.

    oranlı (rasyonel) sayılar üzerindeki bir cismin içinde temel aritmetik işlemleri (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) kullanılarak bir eşitlik yazılsın. tüm cisimlerde toplama ile çarpma değişmeli ve birleşmeli işlemlerdir. bununla birlikte çarpma, toplama üzerine dağılır. ayrıca toplamanın etkisiz elemanı çarpmanın yutan elemanıdır. son olarak da yutmayan tüm elemanların bir tersi vardır. bu özelliklerden şu çıkarımı yaparız: bu kurallara göre oranlı sayılarla yazılan bir aritmetik eşitlik, çok terimli (polinomiyal) bir denklemdir.

    eşitlikte boş kalan yerin -yani bilinmeyen değerin- alabileceği her değere kök denilir. cisim, çok terimlinin derecesinin -yani kök sayısının- çarpınımına (faktöriyel) kadar genişletilebilir. her kök; karekök, küpkök vesaire biçiminde ifade edilebiliyorsa çok terimliye çözülebilir denir. çift köklerin içinde tam kare olmayan veya eksili değerler bulundurmak olasıdır.

    örnek: x = 2/x <=> x^2 = 2 <=> x^2 - 2 = 0. böyle bir eşitliğin iki çözümü olacaktır: r ve s diyelim. r*r = 2, s*s = 2 ve r != s'den tek söz dizimsel çıkarımımız r = -s <=> s = -r olacaktır. cebirsel açıdan r ve s ayırt edilemeyecektir. demek oranlı sayılar cismini r veya s ile genişletmemiz aynı cismin öz yapı dönüşümlerini (otomorfizma) verecektir.

    galois teorisi, cisimlerdeki öz yapı dönüşümlerini bir grup olarak inceler. bu nedenle öz yapı dönüşümü grubunun neye benzeyebileceği hakkında bir fikir vereceğim: tüm gruplarda yalnızca birleşmeli, birimli ve tersinir bir çarpma işlemi vardır. gruplardaki her eleman hem bir durum hem de bir eylemdir. çarpma işlemi bir duruma bir eylem uygular ve sonuç olarak yine durum ya da eylem olarak yorumlanabilecek yeni bir eleman verir. bu entry'de çarpma işlemindeki ilk girdiyi durum, ikinci girdiyi eylem olarak alacağım. mesela ab'de a durum, b eylem, ab ise yeni eleman olacak. çarpma işlemi, durum ve eylem ayrımı olduğu için değişmeli olmak zorunda değildir ancak her durum bir eylem ve her eylem de bir durum olduğu için birleşmeli olmak zorundadır.

    (bkz: #140803284)

    yukarıdaki örnekten ortaya çıkacak öz yapı dönüşümü grubunun mertebesi (eleman sayısı) 2'nin çarpınımı yani 2 olacaktır: [ q(r) q(s) ] (başlangıç konumları) ve [ q(r) <---> q(s) ] (yer değişimi). iki kere yer değiştirmek cisim genişlemelerini başladıkları yerlere geri gönderecek, başlangıçta bırakmak ise hiçbir etki yaratmayacaktır. o yüzden grubun çarpım tablosu şu şekilde olacaktır:
    * [ q(r) q(s) ] [ q(r) <---> q(s) ]
    [ q(r) q(s) ] [ q(r) q(s) ] [ q(r) <---> q(s) ]
    [ q(r) <---> q(s) ] [ q(r) <---> q(s) ] [ q(r) q(s) ]
    görüldüğü üzere x^2 - 2 çok terimlisinin galois grubu 2 öz yapı dönüşümünün devrişim (permütasyon) grubudur. bu, derecesi 2 olan bir çok terimliye denk gelebilecek olası en büyük galois grubudur. buradan sonra galois grubunun çözülebilir olup olmadığını öğrenebilmek için ek bir inceleme yapmaya gerek yoktur çünkü r ve s'nin 2'nin karekökünün artılı ve eksili değerleri olduğu belirgindir. galois teorisinin küçük çok terimlilerdeki uygulanışı buraya kadardır.

    derecesi daha fazla olan ve dolayısıyla kökleri hiç de kolay bulunamayan çok terimlilerin galois gruplarının nasıl inceleneceği ise düzgen (normal) alt gruplara dayanır: bir grubun alt kümesindeki elemanlar kendi aralarında bir grup oluşturabiliyorsa o alt küme aynı zamanda bir alt gruptur. ifade edilişi: alt grup < grup. dışarıdan bir durumu alt gruptaki tüm eylemlerle çarparsanız alt grubun bir sol eş kümesini (sol koset) oluşturursunuz. alt gruptaki tüm durumları dışarıdan bir eylemle çarparsanız alt grubun bir sağ eş kümesini oluşturursunuz. eğer sol eş kümeler ile sağ eş kümeler eşitse, alt grubunuz düzgen bir alt gruptur. düzgen alt grubun kümesi üzerinde gerçekleşen grup eylemleriyle yeni bir grup oluşacaktır. buna h bölüm grubu diyelim. grubun kendisi bölünen g, düzgen alt grup da bölen n olsun. o zaman g/n = h.

    örnek: [ (e) --fr--> (fr) --rf--> (r) --fr--> (f) --rf--> (frf) --fr--> (rf) --rf--> (e) ] çift yüzlü eşkenar üçgen (d_3) grubudur. mertebesi şemada görülebileceği üzere 6'dır. e, birim olduğu için hiçbir eylemde bulunmaz; f, üçgeni dikey eksende ters yüzüne çevirir; r, üçgeni saat yönünde 120° döndürür. <f>, bir alt gruptur çünkü [ (e) <--f--> (f) ] 2 harfin devrişim grubuyla eş biçimlidir (izomorf). ancak normal bir alt grup değildir çünkü [ (e) <--f--> (f) ] --r--> {r, fr} ve r --{e, f}--> {r, rf}. <r>, bir alt gruptur çünkü [ (e) --r--> (r) --r--> (frf) --r--> (e) ] 3 mertebeli devirli grupla eş biçimlidir. ayrıca normal bir alt gruptur çünkü [ (e) --r--> (r) --r--> (frf) --r--> (e) ] --f--> {f, rf, fr} ve f --{e, r, frf}--> {f, fr, rf}. bu nedenle grup, <r> tarafından 3 elemanlı iki eş kümeye ayrılabilir: {e, r, frf} ve {f, rf, fr}. bu kümeler de f eylemiyle ilişkilendirilmiştir. yani d_3/<r> = [ {e, r, frf} <--f--> {f, rf, fr} ] = [ <r> <--f--> f<r> ] ki bu da 2 harfin devrişim grubuyla eş biçimlidir.

    böylelikle herhangi g galois grubunun çözülebilir olup olmadığını belirleyebiliriz: n, g'nin herhangi düzgen alt grubu olsun. {e} < n_1 < n_ 2 < ... < n_m < g ise ve n_1/e, n_2/n_1, ..., g/n_m bölüm grupları değişmeli (abelyen) ise g çözülebilirdir. bu savın anlamsal sonucu ise mertebesi 4'ün çarpınımını bölebilen tüm galois gruplarının çözülebilir olduğudur. ancak mertebesi 4'ün çarpınımına bölünen, 5 kökün almaşık (alterne) grubu çözülebilir değildir. bu nedenle q'da derecesi 5 olan çok terimlilerin standart köklü gösterimle ifade edilebilen genel bir çözümü yoktur. oranlı sayılar cisminde boşluğun 5 kere kendiyle çarpıldığı bir aritmetik eşitlikte o boşluğa her zaman alışılagelmiş köklü bir ifade yerleştirilemeyebilir.
hesabın var mı? giriş yap