hesabın var mı? giriş yap

  • çocuğunu spor yapmaya teşvik etmek için onu üst üste iki galibiyet aldığı takdirde ödül kazanacağı bir turnuvaya sokmak isteyen ebeveynlerin öğrenmesi gereken matematik sorusudur.

    soru harvard üniversitesi'nde matematiksel istatistik profesörü olan frederick mosteller tarafından yazılmış `fifty challenging problems in probability with solutions` kitabında geçmektedir.

    ---
    soru şu şekilde:

    diyelim ki mahmut'un babası zaten hali hazırda bir tenis kulübünde tenis oynayan mahmut'u daha çok spor yapması için teşvik edebilmek adına mahmut'a kazanırsa ödül kazanabileceği bir turnuvaya katılma seçeneği sunuyor.

    babası mahmut'a şunu söylüyor:

    toplam üç maç yapacaksın ve bu maçlardan ikisini üst üste kazanabilirsen ödülü kazanırsın. bu üç maçtan ikisini ya bana karşı ya da tenis kulübünün en iyi oyuncusu olan hüso'ya karşı oynayacaksın. aynı kişiyle iki maç üst üste oynamak yasak. maç sırasını ister hüso - baba - hüso şeklinde, ister baba - hüso - baba şeklinde seçebilirsin.

    hüso'nun babadan daha iyi bir tenis oyuncusu olduğu bilindiği durumda mahmut'un kazanma ihtimalini arttırmak için hangi maç sıralamasını seçmesi gerekir?

    ---

    eğer soruyu hiç düşünmeden düz mantıkla cevaplarsak "hüso babasından iyi oynuyorsa hüso'ya karşı daha az maç yapması iyidir. o zaman baba-hüso-baba şeklinde yapsın ki kazanma ihtimali artsın" şeklinde cevaplayabiliriz.

    ancak bu yanlış cevaptır ve baba-hüso-baba sıralaması mahmut'un kazanma ihtimalini düşüren sıralamadır.

    peki neden?

    dikkat ederseniz babası mahmut'a teklifini söylerken mahmut'un "üst üste" iki maç kazanması gerektiğini söylüyor. yani aslında istediğimiz şey sadece mahmut'un toplam iki maç kazanması değil, aynı zamanda mahmut'un bu iki maçı art arda kazanması.

    yani diyelim ki mahmut babasından iyi oyuncu ve baba-hüso-baba karşılaşmasında babasını iki defa yendi ve hüso'ya yenildi. bu durumda mahmut yine de üst üste iki maç kazanmış olmayacağı için ödülü alamaz.

    fark ettiyseniz mahmut'un üst üste iki maç kazanabilmek için daima ikinci oynadığı maçı kazanması gerekir. yani aslında mahmut'un maçı kazanabileceği her ihtimal mahmut'un ikinci oynadığı maçı kazandığı ihtimallerden biridir. bu durumda ortaya mahmut'un kazanma ihtimalinin daha yüksek olduğu maçı koymak mahmut'un kazancına olacaktır.

    yani mahmut'un kazanabilmesi için seçmemiz gereken sıralama hüso-baba-hüso sıralaması olacaktır.

    tabii çözmeye çalıştığımız soru bir matematik sorusu olduğu için yukarıdaki cevap sezgisel bir cevap ve bu soruyu bu şekilde cevaplamak yetersiz olacaktır. bu sebepten cevabımızın kesin doğru olduğunu görebilmek için birkaç işlem yapalım.

    öncelikle olasılık hesabını yapabilmek için mahmut'un kazandığı bütün kombinasyonların bir tablosuna ihtiyacımız var. bu tabloyu direkt sorunun sorulduğu kitaptaki haliyle buraya ekliyorum: tablo

    tabloda baba, ingilizce father kelimesinin kısaltması f harfi ile, şampiyon ise ingilizce champion kelimesinin kısaltması olan c harfi ile gösterilmiş. iki farklı dizilim için de mahmut'un kazandığı maçlar win kelimesinin kısaltması olan w harfi ile, kaybettiği maçlar ise lose kelimesinin kısaltması olan l harfi ile gösterilmiş.

    tabloların ikisinde de mahmut'un ödülü aldığı durumlar mevcut.

    f ve c kısaltmaları mahmut'un babasına ya da hüso'ya karşı kazanma ihtimallerini temsil ediyor.

    örneğin ilk tablodaki w-w-w diziliminde olasılık kısmına fcf yazılmış. bu durum mahmut'un babasını, şampiyonu ve babasını yendiğini gösteren kısaltmadır.

    mahmut'un babasını yenme ihtimalinin hüso'yu yenme ihtimalinden büyük olduğunu biliyoruz.

    bu durumda f > c eşitsizliğine sahibiz.

    mahmut'un babasına karşı kazandığı maçlara f, hüso'ya karşı kazandığı maçlara c, babasına karşı kaybettiği maçlara 1-f ve hüso'ya karşı kaybettiği maçlara 1-c değerlerini veriyoruz.

    olasılık hakkında bilgi sahibi olmayanlar mahmut'un kaybettiği maçlara neden 1-f ya da 1-c değerlerini verdiğimizi anlayamayabileceğinden bu değeri neden verdiğimizi açıklayayım:

    diyelim ki mahmut'un babasına karşı kazanma ihtimali %100. bu durumda mahmut'un kazanma ihtimaline 1 deriz.

    eğer mahmut'un kazanma ihtimali %60 ise bu durumda da kazanma ihtimaline 0.6 deriz.

    mahmut'un babasına karşı kazanma ihtimali 0.6 ise kaybetme ihtimali de 0.4 olacaktır.

    bu durumda mahmut'un babasına karşı kaybetme ihtimalini bulmak istiyorsak, 1 sayısından kazanma ihtimalini çıkararak kaybetme ihtimalini bulabiliriz. örneğin 0.6 olduğu durumda 1 - 0.6 = 0.4 değerini buluruz.

    şimdi iki dizilimin de ilk sırasına bakalım.

    ilkinde fcf ikincisinde ise cfc.

    mahmut'un babasına karşı iki kez kazanma ihtimalinin şampiyona karşı iki kez kazanma ihtimalinden yüksek olduğunu biliyoruz. bu durumda fcf değeri cfc değerinden yüksek olacaktır.

    bu durumda fcf değerini f + c + f olarak, cfc değerini de c + f + c olarak düşündüğümüzde, değeri yüksek olan toplama işleminin bize mahmut'un kazanmasının daha olası olduğu durumu verdiğini görebiliriz.

    bu bilgiye dayanarak tablodaki bütün durumları birbiriyle toplayıp hangi değerin daha yüksek olduğunu bulalım. böylelikle hangi dizilimin toplam değeri daha yüksek çıkarsa o dizilimin mahmut için avantajlı olduğunu görürüz.

    toplama işlemi: görsel

    toplama işlemine göre sonucumuz baba-hüso-baba durumunda 2f+3c+2 ve hüso-baba-hüso durumunda 3f+2c+2

    iki tarafta da +2 değeri olduğu için eşitsizliği 2f + 3c ve 3f + 2c olarak sadeleştirebiliriz.

    en başla f > c eşitsizliğini belirtmiş ve değeri yüksek olan tarafın mahmut için daha karlı taraf olacağını söylemiştik.

    bu durumda 2f+3c < 3f + 2c olacağından, hüso-baba-hüso seçiminin doğru seçim olduğunu görürüz.

    kitabı okumak isteyenler için: pdf

  • müteahhit günlerce zemini kazmak için uğraşmış, zar zor temel atmışlar diye devam eden cümle. sokağa çıkın rastgele 100 adama sorun 99'u bunu söyler. sanırım türkiye kocaman bir kayanın üzerinde yer alıyor :)

  • başlık: ulan bu hikayeye ne güldüm ya

    1. afrikada bir kabile reisinin 36 çocuğu varmış.. 37. çocuk doğduğunda gözlerine inanamamış, çocuk beyaz doğmuş. reis kara kara düşünmeye başlamış ve 'ulan bu karı beni

    boynuzladı ama bu çevredeki tek beyaz adam komşu köyün papazı' diye.. kalkmış kiliseye gitmiş, papazın başına silahı dayamış :

    kabile reisi : benim karıyı sen mi düzdün ?
    papaz : bunu nerden çıkardın evladım ?
    kabile reisi : benim son çocuk beyaz doğdu
    papaz : bunlar doğal şeyler evlat. bak şu keçilere anneleri beyaz, 3 yavrusu da beyaz ama 4. yavru siyah doğmuş
    kabile reisi : papaz efendi ben çocuktan kimseye bahsetmeyeceğim, sen de kimseye keçiden bahsetme

  • öncelikle "mafya" ile hangi mafyanın kastedildiğini netliğe kavuşturmak gerekir. italyan mafyası söz konusu ise durum şu şekildedir. italyan mafyası roma askeri sistemindeki mantıkla çalışır. baba'nın (boss) altında ikinci bir lider (underboss) bulunur. onun da altında kaptanlar (capo-regime) olur. capo'lar general gibidirler ve her capo'nun kendi emrinde bir grup askeri (soldier) olur. bu askerlerin hepsi made-man'dır (wise-guy, goodfella, man of honor da kullanılır). eskiden askerlerin hepsinin sicilya kökenli olması zorunluydu ama artık işler değişti. mafyaya organik olarak bağlı askerlerin altında ise "associates" denilen ailenin dışında bulunan ve hizmetlerinden faydalanılan kişiler gelir. bu kişiler ailenin bir parçası olarak görülmezler, sadece yardımcı eleman olarak kullanılırlar. genelde street crew (sokak ekibi) olarak harici sekilde askerlerin emrine alinirlar. ancak aileye made-man olarak girmek çok az kişiye nasip olur. genelde böyle durumlarda "books are closed" deyimi kullanılır.

    türkiye'de ise durum biraz daha farklı. kürt ve laz mafyaları çoğunlukla aşiret gibi çalışıp, akraba, aile yakını gibi sadık kesimden insanları yanlarına alırlar. özellikle lise terk, işsiz güçsüz, serseri gençler filmlerin ve oyunların etkisiyle, ve kısa yoldan para kazanma olanakları sayesinde bu örgütlere en alt kademeden dahil oluyorlar. genelde haraç, tehdit, sevkiyat gibi görece basit işlemlerde kullanılıyorlar ve çoğu ya kendi suçundan ya da başkasının suçunu üstlenmekten ötürü kısa dönemli hapse giriyor. hapiste geçirilen sürede ise çömez eleman mafyanın himayesi altında olur. hapisten çıktıktan sonra da çömez eleman sadakatinin ödülü olarak daha kıdemli bir konuma terfi ettirilir.

  • suyu siseden degil plastik bir torbamsi seyden icmis nesildir. pipeti vardi bu plastik seyin. oyle icilirdi su.

  • "şimdi çıkmış geçenlerde birisi, elinde de gitar, biliyorsunuz bunlar gitar çalar, bağlama nedir bilmezler, ağzında da mızıka, diyor ki senin savcın varsa benim de bilmemnem var. ya sen kimsin ya. sen kimsin. bi de bana diktatör diyorlar, ben diktatör olsam sen cıkıp orada o lafları edebilir misin." putin.

  • cumhuriyet deyip cumhuriyetimizin kurucusu atatürk’e yer verilmeyen pankartta cumhuriyet ile alakası olmayan osmanlı imparatorluğu padişahlarının pankartını açan bir garip memleket. tamam en tayyipçi sizsiniz.

  • 12 numaraorg'un uefa'ya şikayet edeceği, beşiktaşlıların da savcılığa taşıyabileceği vahim olay.

  • kürşad tüzmen'in gençliğinde yaptığını iddia ettiği şey: http://www.hurriyet.com.tr/pazar/20777197.asp

    --- spoiler ---

    son dönemde sanki çıldırmış gibisiniz...
    - zaten çıldırmış adamım. ‘şu çılgın türkler’i okumadınız mı? atatürk de bir çılgındı. odtü’de ülkücüydüm. devrimcileri dövüp dövüp atıyordum. iki ülkücü vardı: biri kürşad tüzmen, diğeri üzeyir kaptan. ikimiz, 10 bin kişilik okulu sustaya çevirmiştik. zafer çağlayan diyor ya, “eskiden tanışıyoruz” diye. o zaman ülkücüydü, şimdi “kürt’üm” diyor; fark etmez, ülkücü türkücü... odtü’den gider, yükseliş’te onları dayaktan kurtarırdım.
    --- spoiler ---

    dediğine göre iki ülkücü olarak 80'lerde 10bin'lik odtü'yü dize getirmişler.

    (bkz: tutmayın küçük enişteyi)